簡單過一下信源和信息熵的一些概念理解。
信源的特性和分類
- 信源是消息的來源，可以是人，生物，機器或是其他事物
離散信源和連續信源
離散信源（Discrete Source）和連續信源（Continuous Source）是信息論中兩種常見的信源模型，它們用於描述信息源產生的數據類型和性質。
- 離散信源（Discrete Source）：
- 離散信源產生的數據是離散的，即數據的取值是有限的、可數的，通常是整數或離散的符號。
- 離散信源通常用於描述離散事件的信息產生過程，比如投擲硬幣、骰子的結果、文字文檔中的字符等。
- 一個典型的例子是二進制信源，它產生的數據僅包含兩個可能的符號，通常表示為0和1。
- 連續信源（Continuous Source）：
- 連續信源產生的數據是連續的，即數據的取值可以在一定范圍內取任意實數值。
- 連續信源通常用於描述連續事件或模擬現實世界中的連續過程，比如聲音信號、圖像、傳感器測量數據等。
- 連續信源的數據可以表示為連續的函數，通常需要使用概率密度函數（Probability Density Function，PDF）來描述數據的分佈。
在信息論中，我們經常關註離散信源的熵（Entropy）和連續信源的不確定性度量，如連續信源的概率密度函數、互信息、條件熵等。這些概念和度量方法有助於我們理解和處理不同類型的信源數據，以及在信息傳輸和壓縮中的應用。需要註意的是，處理連續信源的問題通常涉及到連續概率分佈和積分，因此在數學上和計算上會更復雜，而離散信源通常更容易處理和建模。選擇適當的信源模型取決於問題的性質和具體應用領域。
舉例當涉及到離散信源和連續信源時，以下是兩個具體的例子來幫助理解它們：
離散信源的例子：
假設有一個硬幣投擲的情境。硬幣的結果隻能是正面（Heads）或反面（Tails），這兩個結果是離散的，且是有限可數的。這可以看作是一個離散信源。在這種情況下：
- 離散信源的符號集合為 {Heads, Tails}。
- 離散信源的概率分佈可以表示為 P(Heads) = p 和 P(Tails) = 1 – p，其中 p 是正面的概率。
- 該信源的信息熵可以用來衡量硬幣投擲結果的不確定性。
連續信源的例子：考慮一個聲音錄音的情景。聲音信號是連續的，即聲音的振幅值可以在任何時間點上取任何實數值。這是一個連續信源。在這種情況下：
- 連續信源的符號集合是實數集合 R。
- 連續信源的概率分佈通常需要使用概率密度函數（Probability Density Function，PDF）來描述聲音信號的振幅分佈。
- 連續信源的熵可以用來衡量聲音信號的不確定性，但通常需要對概率密度函數進行積分。
總之，離散信源產生的數據是分散的、可數的，而連續信源產生的數據是連續的、不可數的。這兩種信源類型在信息論和信號處理中都有廣泛的應用，但處理方法和度量方式在某些方面會有所不同。離散信源通常涉及概率質量函數和離散熵，而連續信源則涉及概率密度函數和連續熵。
離散信源和連續信源的數學模型
單符號信源和多符號序列信源
前面提到的離散信源和連續信源都是隻輸出一個消息符號，稱為單符號信源，可用一位離散隨機變量或連續隨機變量來描述。如果輸出是一系列符號，則稱為多符號序列信源。
隨機序列信源和波形信源
- 如果信源輸出的消息室時間或空間上離散的一系列隨機變量，即隨機序列，這樣的信源是隨機序列信源。
- 如果信源的輸出是時間或空間的連續函數而且其取值也是連續的、隨機的，這種信源的輸出要用隨機過程來描述，可稱為波形信源。
下面是我問chatgpt給出的答案，註意，它給出的答案中，隨機序列信源的解釋是跟上面的解釋相同，但關於波形信源的解釋，它認為是帶有一定周期和規律的。
但我們要知道，信源的基本特征是隨機不確定性，所以這裡chatGPT關於波形信源給出的定義有誤，雖然部分波形信源給出的信息有一定的規律，但本質上還是隨機的。
隨機矢量的聯合概率分佈
無記憶的連續信源
離散信源的信息度量
信息量的定義
所以，在沒有幹擾的情況下，信息量定義為：
個人覺得：這裡說到幹擾會影響上面的定義，是使得收到消息之後關於該消息發生的不確定度為0，也就是該消息在收到之後就確定不會發生，也就是該消息的自信息量為0瞭。下面我們就來介紹一下，自信息量是什麼
自信息量
註意，這裡的f意思就是一個函數，它的參數是ai發生的先驗概率
- 它要單調遞減
- p=1時f=0
- p=0時f=∞
- f具有可加性
理解起來很簡單，如果一個事件它的先驗概率是1，它就是必然發生的，那麼這件事情我們就已經知道瞭，它這件事情就算發生瞭，也不能給我們帶來任何信息，就比如你已經提前知道瞭明天的課表，這個時候你的同學來告訴你明天上什麼課，ok，他白費口舌，你獲取不到任何信息，他的自信息量（也就是不確定度f）就是0。相反，假如你已經知道一件事情必然不會發生，比如明天太陽肯定不會爆炸，結果明天太陽的確爆炸瞭！！！當場知道真相的你必然是大腦中信息量爆炸，太陽爆炸這件事情的信息量就是無窮的，這裡或許用不確定度來解釋有些執拗，但可以解釋成太陽爆炸這件事情所含有的信息量。那麼問題來瞭，我們需要求出一個具體的值，就需要一個具體的函數表達式：
信息量的單位
就像前面的太陽爆炸這個事件，我們其實並不能說這件事情的不確定度很高（因為太陽爆炸什麼的也太扯瞭吧….）