零、寫在前面

這隻是閑著沒事隨便寫著玩的，大傢隨便看看就行。

一、基本定義

設角alpha 的終邊與單位圓交於點P(x,y),則有

sin alpha=y,cos alpha=x

tan alpha =frac{y}{x} ,cotalpha=frac{x}{y}

sec alpha=frac{1}{x} ,cscalpha=frac{1}{y}

二、同角三角函數基本關系

由上邊的式子可以直接得出以下三個關系式（倒數關系）：

tanalphacotalpha=1sinalphacscalpha=1cosalphasecalpha=1

還可以得出如下商的關系：

frac{sinalpha}{cosalpha} =tanalpha=frac{secalpha}{cscalpha} frac{cosalpha}{sinalpha}=cotalpha=frac{cscalpha}{secalpha}

結合勾股定理，我們還可以得到下述平方關系：

sin^{2}alpha+cos^{2}alpha=1

這些關系式很簡單，就不推導瞭。

三、特殊值

當這篇文章讀完之後，你一定可以推導出上表中任何一個值。

四、誘導公式

我不推薦大傢記這個表

而是希望大傢先熟悉一下最基本的三個三角函數（sin、cos和tan）的性質，然後再討論遇到類似問題如何最快速地推導。

• 正弦函數是奇函數，最小正周期為2pi,其導函數為餘弦函數；
• 餘弦函數是偶函數，最小正周期為2pi,其導函數為正弦函數的相反數；
• 正切函數是奇函數，最小正周期為pi.

誘導公式的目的是什麼呢？就是將sin(frac{kpi}{2}+alpha) 中frac{pi}{2} 的整數倍去掉，僅保留alpha.因此我們可以按照上述性質一步步地化簡：

1. 按照其奇偶性，將alpha變為負值；
2. 根據正弦/餘弦函數的周期性，將2pi的整數倍全部去掉。若此時被加數為負，則再加上2pi；
3. 若被加的數絕對值仍不小於pi，就將其絕對值直接減去pi，然後取負號；
4. 利用公式sin(frac{pi}{2} -alpha)=cosalpha和cos(frac{pi}{2} -alpha)=sinalpha得出結果。

舉個例子：cos(frac{37pi}{2} +alpha)

原式=cos(-frac{37pi}{2} -alpha)/*將alpha變為負值*/

=cos(-frac{pi}{2} -alpha)/*利用周期性加上9個2pi*/

=cos(frac{3pi}{2}-alpha) /*再加上一個2pi*/

=-cos(frac{pi}{2}-alpha) /*減去pi並加負號*/

=-sinalpha

可以看出，按照這個步驟，完全不需要記憶那麼多公式，甚至連「奇變偶不變，負號看象限」都不需要，隻要按部就班地做就可以得到正確答案。

而正切函數更簡單，因為其最小正周期是pi,因此最後隻有加不加frac{pi}{2} 的問題。

五、基本公式

下面看一個最基本的公式，這個公式很自然，但是確實下邊各個公式推導的基礎。

平面上兩個單位向量，與x軸正向夾角分別為x和y，則這兩個向量分別為(cos x,sin x),(cos y,sin y)。則這兩個向量的點積為cos xcos y+sin xsin y,而點積又可以表示為1*1*cos(x-y)=cos(x-y),於是我們得到瞭以下公式：

cos(x-y)=cos xcos y+sin xsin y(1)

這就是最基本的公式。從向量的角度，這個公式也是很自然的。

六、和差角公式

將(1)中的

y

用

-y

代入，即可得到

cos(x+y)=cos xcos y-sin xsin y(2)

將(1)中的x用frac{pi}{2} -x代，再利用誘導公式，可以得到正弦函數的和差角公式：

sin(x+y)=cos ysin x+cos xsin y(3)

(3)式的y代成-y，有

sin(x-y)=cos ysin x-cos xsin y(4)

(3)/(2),(4)/(1),得到正切函數的和差角公式：

tan(x+y)=frac{tan x+tan y}{1-tan xtan y} (5)

tan(x-y)=frac{tan x-tan y}{1+tan xtan y} (6)

七、倍角公式和半角公式

有瞭「六」中的式子，令x=y，很容易得到倍角公式和半角公式：

sin 2x=2sin xcos x(7)

cos 2x=cos^{2}x-sin^{2}x(8)

tan 2x=frac{2tan x}{1-tan^{2}x} (9)

註意到(8)式，由平方關系又可以寫成2cos^{2}x-1或1-2sin^{2}x.所以我們就有半角公式（也叫降冪公式）：

sin^{2}frac{x}{2}=frac{1-cos x}{2}(10)

cos^{2}frac{x}{2}=frac{1+cos x}{2}(11)

兩式相除，得

tan^{2}frac{x}{2}=frac{1-cos x}{1+cos x}(12)

八、積化和差和和差化積公式

回頭看看(3)式和(4)式，兩式相加得到

sin xcos y=frac{1}{2}[sin(x+y)+sin(x-y)](13)

而相減則得

cos xsin y=frac{1}{2}[sin(x+y)-sin(x-y)](14)

(1)+(2)、(1)-(2)同樣可以得到兩個積化和差的公式：

cos xcos y=frac{1}{2}[cos(x+y)+cos(x-y)](15)

sin xsin y=frac{1}{2}[cos(x-y)-cos(x+y)](16)

然後在上式中，令u=x+y,v=x-y.此時x=frac{u+v}{2},y=frac{u-v}{2}，立刻就得到瞭四個和差化積公式：

sin u+sin v=2sinfrac{u+v}{2}cosfrac{u-v}{2}(17)

sin u-sin v=2cosfrac{u+v}{2}sinfrac{u-v}{2}(18)

cos u+cos v=2cosfrac{u+v}{2}cosfrac{u-v}{2}(19)

cos u-cos v=-2sinfrac{u+v}{2}sinfrac{u-v}{2}(20)

九、萬能公式

萬能公式是將sin x,cos x和tan x均用tan frac{x}{2}表示。由於後者的值域為整個實數區間，因此方便考察許多性質。

首先我們知道，tan x的萬能公式就是其二倍角公式(9)式。我們試著推導一下餘弦函數的萬能公式。

cos x=&cos(2cdot frac{x}{2})=cos^{2}frac{x}{2}-sin^{2}frac{x}{2}=[cos^{2}frac{x}{2}-sin^{2}frac{x}{2}]/[cos^{2}frac{x}{2}+sin^{2}frac{x}{2}]

=frac{1-tan^{2}frac{x}{2}}{1+tan^{2}frac{x}{2}}(21)

正弦的就簡單瞭，兩個一乘就行：

sin x=cos xtan x=frac{1-tan^{2}frac{x}{2}}{1+tan^{2}frac{x}{2}}frac{2tan frac{x}{2}}{1-tan^{2}frac{x}{2}}=frac{2tan x}{1-tan^{2}x}(22)

十、寫在最後

這篇文章實在是沒什麼技術含量，然而倉促之間我也寫不出什麼更好的東西瞭，大傢湊合著看吧。