為瞭探究形心軸和中性軸的關系，首先，先復習一下形心軸和中性軸的概念
形心軸：形心軸上下部分對軸的面積矩相等，即
公式 1
這裡是面積矩而不是面積相等，如圖1的T形截面，點線平分面積，但實線才是形心軸
圖 1
中性軸：截面上正應力為0的軸（一般情況下也是應變是0），根據平截面假定，某任意截面上的應變分佈存在如圖2-1所示的情況，那麼紅線就是中性軸，當然也存在圖2-2（中性軸在截面邊緣），圖2-3（截面部分進入塑性），以及圖2-4，圖2-5（軸力相比彎矩較大時，截面內部沒有中性軸）的情況。
圖 2-1
圖 2-2 圖2-3圖 2-4 圖2-5
中和軸：好像和中性軸是一樣的
所以形心軸和中和軸是重合的嗎？
以圖3為例
圖 3
假設截面上任意微元 i 的坐標為 (x_{i},y_{i}) ，微元的面積為 A_{i} ，用 φ 表示 tanθ ，用 y=y_z 表示中性軸，則微元i處的應變滿足
應力滿足
其中 f 表示材料的應力-應變關系，當材料始終處於彈性時，應力滿足：
如果此時截面恰好僅承受彎矩而沒有軸力，那麼：
公式 2公式 3
又從公式1知道形心軸的
巧瞭！
於是我們發現瞭，當截面滿足①隻有一種材料②純彎③彈性，三個條件時，中性軸也是形心軸。
同時，將所有微元上的應力對於任意一條確定的軸 y 取矩並求和（參考公式2）
其值都等於對形心軸（或中性軸）取矩的結果，也就是截面的彎矩，這是純彎的特征。
如果不是純彎呢？
圖 4-1表示軸力和彎矩共同作用下的情況，既可以是拉彎也可以是壓彎（以壓彎為例）
此時形心軸不會發生變化，但中性軸跑瞭，顯然形心軸≠中性軸
這種情況下截面上的軸力和彎矩應該怎麼求？
彈性狀態下，可以分解成純彎（圖4-2）和軸壓（圖4-3）
圖 4-1圖 4-2 圖 4-3
顯然，軸力：
彎矩
其中 σ_{in} , σ_{im} 分別表示微元 i 上由軸力和彎矩引起的應力
但是我不想把 σ 分成 σ_{in} 和 σ_{im} ，想利用 σ 直接求彎矩和軸力，怎麼辦？
軸力很簡單
又
那麼
所以截面上的軸力可以通過對各微元上的應力與面積的乘積求和得到，畢竟彎矩引起的部分會相互抵消。
彎矩稍微復雜一點，也不難，還是對 y 取矩並求和
我又發現瞭（公式3）
所以當 y=y_0 或者 y=y_z 時
註意這裡 y_z 是純彎狀態下的中性軸，而不是實際的中性軸
所以我們得到一個結論，壓彎狀態下，把截面上的正應力對形心軸或者純彎狀態下的中性軸取矩並求和，得到截面的彎矩，而不能像純彎狀態下一樣對任意軸取矩。
那麼這條結論是不是對任意截面都適用？
並非！繼續往下看，圖5，假設他是一個開心的型鋼混凝土截面，僅受彎矩
圖 5公式 4
此處假設 y_z=y_0
又（還是公式1）已知對於形心軸
如果上兩個公式都成立，無異於同時滿足
那隻有 a=b=0 瞭，顯然沒有道理，也就是說y_z≠y_0 ，即對於組合截面，形心軸和彈性純彎中性軸不重合。
所以對於組合截面，截面上的彎矩應該怎麼求？
把圖5分解為圖6-1和圖6-2
圖 6-1 圖 6-2
顯然對於純彎部分
還是假設有那麼一個軸 y ,同時把 σ 分成 σ_{in} 和 σ_{im}
哎我又發現瞭（公式 4）
所以啊， y=y_z 時
也就是，對於承受軸力和彎矩的組合截面，材料處在彈性時，截面上的彎矩等於微元上的力對該截面純彎狀態下的中性軸取矩並求和，不能是形心軸，更不是任意軸
既然確定瞭是純彎狀態，那麼這個軸對於截面來說是唯一的
三個結論：
（1）彈性，單一材料，純彎：中性軸和形心軸重合，微元的力對任意軸取矩求和得彎矩
（2）彈性，單一材料，壓彎：中性軸和形心軸不重合，微元的力求和得軸力，微元的力對形心軸（或純彎中性軸）取矩求和得彎矩
（3）彈性，組合材料，純彎或壓彎：中性軸和形心軸不重合，微元的力對純彎中性軸取矩求和得彎矩
（4）彈塑性：還沒算
想起之前的一點疑惑，這兩天重新梳理瞭一下這部分知識，不知有沒有什麼紕漏，歡迎交流探討！