本人是第一次在知乎上寫文章，並且本人是高一學生，文章中可能會有一些錯誤的觀點，還請大傢多多包涵，謝謝。
這裡我先把結果展示給大傢看：
在估算lnx的值時可使用以下式子：
其中[x]表示取整函數。
有興趣看推導過程的，且聽我慢慢道來。
1.起因
自從我學瞭對數之後，作業上時不時會出現一些有關對數和指數的比大小問題，雖然用函數就能簡簡單單地解決問題，但我每次做這些題目時，都不禁會想到高考試卷上的比大小問題，每次想到都覺得瘆人。
所以我要找到估算指數函數值與對數函數值的方法。為此我用瞭不知多長時間，隻知道這些時間是我在高中繁忙的學習生活中抽出來的，把與泰勒展開，級數有關的知識都學瞭一下。從中我瞭解到：lnx的泰勒展開僅在x∈(0，2]時適用，而如果用帕德近似，雖然它好用，但當x>1時，如果x越大，用帕德近似估算出來的值會與實際值的誤差會越大。
難道就沒有估算lnx值的更好方法嗎？
2.發現
直到某一天，我刷視頻時看到瞭這樣一個式子：
其中x∈(-∞，-1)∪[1，+∞)。
這個式子有一個特點，就是收斂速度特別快。就拿ln2來說，如果用泰勒展開，算到第10項時也隻是把ln2精確到小數點後1位而已，如果用的是上面的級數展開式，令x=1，就可以把ln2精確到小數點後10位！看到這我內心一陣狂喜：這個式子必定大有用處。
3.探索
剛開始研究時，我遇到瞭一個嚴重的問題。
范圍。
因為這個展開式是由ln(1+x)的泰勒展開衍生出來的，因此(x+1)/x的范圍是(0，2]，而我要找的lnx的級數展開式是對任意x>0都適用的。
怎麼辦？
經過瞭幾天幾夜的思考，我終於有瞭一個簡單粗暴的想法。
讓x除以一個式子，使得到的商始終在(0，2]之間。
於是
雖然沒什麼問題，但由於k是與x有關的式子，lnk這一項無疑是畫蛇添足。
那就……那就令k=a^b，其中a是常數，b是與x有關的式子，問題不就解決瞭嗎。
令x/(a^b)=(n+1)/n，解得n=(a^b)/(x-a^b),然後把n代入ln[(n+1)/n]的級數展開式中，可得
其中0<x≤2a^b。
現在，我們離終點隻差一步瞭。
因為當你用這個式子來估算lnx的值時，你還要根據x的值，來選取a,b的值以滿足x的范圍，很麻煩，因此這個式子還需要調整。
從理論上來說，隻要讓x小於等於2a^b，上面的式子都成立，比如讓a^b=2^x。但是在實際應用中，你會發現因為2^x的增長率比一次函數和對數函數快很多，所以x遠遠小於2^x，剛算瞭幾項你會發現得到的數比lnx的值小很多，你得算很多項才能讓這個級數展開式得到的值慢慢逼近lnx的值，大傢用計算器試試就知道瞭。（其實是我想不到怎麼用嚴謹的說法來說明以上的情況罷瞭）
那我們令a=2，b先不動，為瞭不出現上面的情況，就要讓2^b≤x≤2*2^b，即
一個數介於b和(b+1)之間……這讓我聯想到瞭取整函數，那就令
整理一下就可以得到開頭的式子。
剛出爐的式子還熱乎著，現在就實戰一下，比如計算ln5的值。
因為2^2<5<2^3，所以
則
ln2取0.69315，代入下面的式子
可得ln5≈1.60852
如果用帕德近似估算，
用上面的式子計算可得ln5≈1.56522
而實際上，ln5≈1.60944
看到威力瞭吧？而且這個式子對任意x>0都適用。
4.結語
我不知道這個結果是否已經存在，但這確確實實是我自己發現。
自從得到瞭這個成果，我一直在想要不要把它發佈出來，就算發佈出來，得到瞭一部分人的認可，肯定有人會勸我不要搞這些亂七八糟的東西，我甚至可能會遇到一些未知的麻煩。但是求知畢竟是所有智慧生物的本能，當然，像我這樣的年紀，不該知道的就不要刨根問底瞭。作為一名數學愛好者，這篇文章展現瞭我從好奇，到探索，再到得到結果的整個過程。並且我得到瞭這個成果，我當然有權利發佈出來。
上瞭高中之後，學習壓力倍增。很少人能像我這樣抽出時間來幹這些“閑事”，所以這個結果真的是來之不易。希望大傢能理解一位高中生的辛苦，還請各位多多轉發，傳閱，讓更多人看到這篇文章，這就是對我的最大支持！謝謝大傢！