定理（帶餘除法）：對於 P[x] 中任意兩個多項式 f(x),g(x) ，其中 g(x) ne 0 ，一定有 P[x] 中的多項式 q(x),r(x) 存在，使 begin{equation} f(x)=q(x)g(x)+r(x) (1) end{equation} 成立，其中 partial (r(x))<partial (g(x)) 或者 r(x)=0 ，並且這樣的 q(x),r(x) 是唯一確定的.
證明：先用歸納法的思想 q(x) 和 r(x) 的存在性：
若 f(x)=0 ，取 q(x)=r(x)=0 即可
若 f(x) ne 0 ，設 partial (f(x))=n, partial (g(x))=m ，對 f(x) 的次數 n 作（第二）數學歸納法：假設當任何 f(x) 的次數小於 n 時， q(x),r(x) 的存在性已證. 現來看次數為 n 的情形.
當 n<m 時，取 q(x)=0,r(x)=f(x) ， (1) 式成立.
下面討論 n ge m 的情形. 令 ax^{n},bx^{m} 分別是 f(x),g(x) 的首項，則 b^{-1}ax^{n-m}g(x) 與 f(x) 有相同的首項，因而多項式 f_{1}(x)=f(x)-b^{-1}ax^{n-m}g(x) 的次數小於 n 或為零多項式. 故隻需取 q(x)=b^{-1}ax^{n-m},r(x)=0 . 對 f_{1}(x),g(x) 有 q_{1}(x),r_{1}(x) 存在使 f_{1}(x)=q_{1}(x)g(x)+r_{1}(x) ，其中 partial (r_{1}(x))<partial (g(x)) 或者 r_{1}(x)=0 . 於是 f(x)=(q(x)+b^{-1}ax^{n-m})g(x)+r_{1}(x) 成立. 由歸納法原理，對任何的 f(x),g(x)ne 0 ， q(x),r(x) 的存在性就證明瞭.
下證唯一性：設另有多項式 q'(x),r'(x) 使 f(x)=q'(x)g(x)+r'(x) 成立，其中 partial (r'(x))<partial (g(x)) 或者 r'(x)=0 . 於是有 (q(x)-q'(x))g(x)=r'(x)-r(x) . 若有 q(x) ne q'(x) ，又據假設 g(x) ne 0 ，那麼 r'(x)-r(x) ne 0 ，且有 partial (q(x)-q'(x))+partial (g(x))=partial (r'(x)-r(x)) ，這與 partial (g(x))>partial (r'(x)-r(x)) 矛盾. 這就證明 q(x)=q'(x) ，因此 r(x)=r'(x) .
定義（商式，餘式）：帶餘除法中所得的 q(x) 通常稱為 g(x) 除 f(x) 的商式， r(x) 稱為 g(x) 除 f(x) 的餘式，簡稱商和餘.
定義（整除）：若數域 P 上存在多項式 h(x) 使等式 f(x)=g(x)h(x) 成立，稱數域 P 上的多項式 g(x) 整除 f(x) ，記作 g(x)|f(x) .
定理：對於數域 P 上的任意兩個多項式 f(x),g(x) ，其中 g(x) ne 0 ， g(x)|f(x) Leftrightarrow f(x)=q(x)g(x)+r(x), r(x)=0 .
整除性的常用性質：
- 若 f(x)|g(x),g(x)|f(x) ，則有 f(x)=cg(x) ，其中 c 為非零常數.
- 若 f(x)|g(x),g(x)|h(x) ，則有 f(x)|h(x) （整除的傳遞性）
- 如果 f(x)|g_{i}(x), i=1,2,…,r ，則 f(x)|(u_{1}(x)g_{1}(x)+u_{2}(x)g_{2}(x)+…+u_{r}(x)g_{r}(x)) ，其中 u_{i}(x) 是數域 P 上的任意多項式.
命題：兩個多項式之間的整除關系不因為系數域的擴大而改變.
證明：假設在數域 P 上有多項式 g(x)|f(x) ，則存在 h(x) in P[x] 使得 f(x)=g(x)h(x) ，若 P subseteq F ，則有 h(x),g(x),h(x) in F[x] ，故在數域 F 上也有多項式 g(x)|f(x) .