在導數的研究中，我們經常需要使用一些初等函數的性質，但花費過多的時間在研究這些函數上可能嚴重影響我們解決問題的速度，為此，這裡將給出一些比較常用的初等函數圖像及他們的性質.
xf(x)型
y=x·e^x
圖像：
定義域： mathbf{R}
值域： displaystyleleft[,-frac{1}{e},,,+infty,right)
零點： x=0
導數： left(xe^xright)'=left(x+1right)e^x
單調性：在 left(,-infty,,,-1,right] 上單調遞減，在 left[,-1,,,+infty,right) 上單調遞增
極值點坐標： displaystyleleft(,-1,,,-frac{1}{e},right)
y=x·lnx
圖像：
定義域： left(,0,,,+infty,right)
值域： displaystyleleft[,-frac{1}{e},,,+infty,right)
零點： x=1
導數： left(xln xright)'=ln x+1
單調性：在 displaystyleleft(,0,,,frac{1}{e},right] 上單調遞減，在 displaystyleleft[,frac{1}{e},,,+infty,right) 上單調遞增
極值點坐標： displaystyleleft(,frac{1}{e},,,-frac{1}{e},right)
y=x·sinx
圖像：
定義域： mathbf{R}
值域： mathbf{R}
零點： x=kpiquadleft(kinmathbf{Z}right)
導數： left(xsin xright)'=sin x+xcos x
單調性：略
極值點坐標： displaystyleleft(,alpha,,,alphasinalpha,right) ，其中 alpha 滿足方程 alpha+tanalpha=0
y=x·cosx
圖像：
定義域： mathbf{R}
值域： mathbf{R}
零點： x=0 或 displaystyle x=frac{pi}{2}+kpiquadleft(kinmathbf{Z}right)
導數： left(xcos xright)'=cos x-xsin x
單調性：略
極值點坐標： displaystyleleft(,alpha,,,alphacosalpha,right) ，其中 alpha 滿足方程 alphatanalpha=1
y=x·tanx
圖像：
定義域： displaystylemathbf{R},setminus,left{,frac{pi}{2}+kpi:|:kinmathbf{Z},right}
值域： mathbf{R}
零點： x=kpiquadleft(kinmathbf{Z}right)
導數： displaystyleleft(xtan xright)'=tan x+frac{x}{cos^{2}x}
單調性：在 displaystyleleft(,-frac{pi}{2}+kpi,,,frac{pi}{2}+kpi,right) left(,kinmathbf{Z}^{-},right) 和 displaystyleleft(,-frac{pi}{2},,,0,right] 上單調遞減，在 displaystyleleft[,0,,,frac{pi}{2},right) 和 displaystyleleft(,-frac{pi}{2}+kpi,,,frac{pi}{2}+kpi,right) left(,kinmathbf{Z}^{+},right) 上單調遞增
極值點坐標： displaystyleleft(,0,,,0,right)
f(x)/x型
y=e^x/x
圖像：
定義域： mathbf{R},setminus,left{,0,right}
值域： left(,-infty,,,0,right)cupleft[,e,,,+infty,right)
零點：無
導數： displaystyleleft(frac{e^x}{x}right)'=frac{xe^{x}-e^{x}}{x^{2}}
單調性：在 left(,-infty,,,0,right) 和 left(,0,,,1,right] 上單調遞減，在 left[,1,,,+infty,right) 上單調遞增
極值點坐標： left(,1,,,e,right)
y=lnx/x
圖像：
定義域： left(,0,,,+infty,right)
值域： displaystyleleft(,-infty,,,frac{1}{e},right]
零點： x=1
導數： displaystyleleft(frac{ln x}{x}right)'=frac{1-ln x}{x^{2}}
單調性：在 left(,0,,,e,right] 上單調遞增，在 left[,e,,,+infty,right) 上單調遞減
極值點坐標： displaystyleleft(,e,,,frac{1}{e},right)
y=sinx/x
圖像：
定義域： mathbf{R},setminusleft{,0,right}
值域： left[,cosalpha,,,1,right) ，其中 alpha 是滿足方程 alpha=tanalpha 的最小正數解
零點： x=kpiquadleft(kinmathbf{Z}^{*}right)
導數： displaystyleleft(frac{sin x}{x}right)'=frac{xcos x-sin x}{x^{2}}
單調性：略
極值點坐標： displaystyleleft(,alpha,,,frac{sinalpha}{alpha},right) ，其中 alpha 滿足方程 alpha=tanalpha
y=cosx/x
圖像：
定義域： mathbf{R},setminusleft{,0,right}
值域： mathbf{R}
零點： displaystyle x=frac{pi}{2}+kpiquadleft(kinmathbf{Z}right)
導數： displaystyleleft(frac{cos x}{x}right)'=-frac{xsin x+cos x}{x^{2}}
單調性：略
極值點坐標： displaystyleleft(,alpha,,,frac{cosalpha}{alpha},right) ，其中 alpha 滿足方程 alphatanalpha=-1
y=tanx/x
圖像：
定義域： displaystylemathbf{R},setminus,left(,left{,frac{pi}{2}+kpi:|:kinmathbf{Z},right}cupleft{,0,right},right)
值域： mathbf{R}
零點： x=kpiquadleft(kinmathbf{Z}^{*}right)
導數： displaystyleleft(frac{tan x}{x}right)'=frac{x-sin xcos x}{x^{2}cos^{2}x}
單調性：在 displaystyleleft(,-frac{pi}{2}+kpi,,,frac{pi}{2}+kpi,right) left(,kinmathbf{Z}^{-},right) 和 displaystyleleft(,-frac{pi}{2},,,0,right) 上單調遞減，在 displaystyleleft(,0,,,frac{pi}{2},right) 和 displaystyleleft(,-frac{pi}{2}+kpi,,,frac{pi}{2}+kpi,right) left(,kinmathbf{Z}^{+},right) 上單調遞增
極值點坐標：無
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