寫在前面：
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如果能夠耐得住寂寞看完，必定有所收獲。千萬不要隻看，更要動手算。拿出自己的演草紙吧，自己動手，豐衣足食。
關於二級結論如何使用我就不再多做贅述瞭，一定要擺正心態，那就是：
欲用此定理，並證此定理！
欲用此定理，並證此定理！
欲用此定理，並證此定理！
敲黑板，說三遍~~~
如果自己能夠完全證明出來，我覺得根本不用刻意去記，這些東西已經和你融為一體瞭~~學習數學大法的最高境界啊！
學習方法的鏈接，真是吐瞭老血瞭：
2018.12.31更新：
2018.12.23更新：
2018.12.22更新：
立體幾何部分：
正四面體模型：
S_底= frac { sqrt { 3 } } { 4 } a ^ { 2 } quad h = frac { sqrt { 6 } } { 3 } a quad V = frac { sqrt { 2 } } { 12 } a ^ { 3 }
R_{外接球}= frac { sqrt { 6 } } { 4 } a r_{內切球}= frac { sqrt { 6 } } { 12 } a
不容易發現的幾種垂直情況
滿足BD和CF垂直的時候，有下列的數量關系：
begin{array} { l } { vec { A B } = a ^ { 2 } vec { F B } } \ { vec { D B } = left( a ^ { 2 } + 1 right) vec { E B } } end{array}
begin{array} { l } { vec { A F } = (a ^ { 2 }-1) vec { F B } } \ { vec { D E } = a ^ { 2 } vec { E B } } end{array}
三垂線定理及其逆定理：
①若 P A perp alpha , A O perp a, 則 P O perp a
三垂線定理：垂直於投影則垂直於斜線【則 ∠ 為二面角 − − 的平面角】
②若 ⊥ ， ⊥ ，則 ⊥
三垂線定理的逆定理：垂直於斜線則垂直於投影【則 ∠ 為二面角 − − 的平面角】
必須瞭解的鱉臑模型：
定義每個面都是直角三角形的空間四面體稱為四直角四面體（鱉臑）
在四面體P-ABC中，若PA⊥平面ABC，AC⊥BC，則稱這個四面體為四直角四面體（鱉臑），且它具有以下性質:
(1) 四面體的4個面都是直角三角形;
(2) 設點A在PB，PC 上的射影分別為M，N，則MN⊥PB;
(3) 設二面角B-AP-C 的大小為α，二面角P-BC-A的大小為β，二面角A-PB-C 的大小為θ，則 sin theta = sqrt { cos ^ { 2 } beta + cos ^ { 2 } alpha sin ^ { 2 } beta } ;
(4) 設二面角B-AP-C 的大小為α，∠PBA = φ，二面角A-PB-C 的大小為θ，則tanθtanαsinφ =1．
三餘弦定理（最小角定理）
設A為面上一點，過A的斜線AO在面上的射影為AB，AC為面上的一條直線，那麼∠OAC,∠BAC,∠OAB三角的餘弦關系為：cos∠OAC=cos∠BAC·cos∠OAB(∠BAC和∠OAB隻能是銳角)
三正弦定理
設二面角M-AB-N的角度為α，在平面M上有一條射線AC，它和棱AB所成角為β，和平面N所成角為γ，則sinγ=sinα·sinβ.
任意的簡單 n 面體內切球半徑為 frac { 3 V } { S }（ V 是簡單 n 面體的體積， S 是簡單 n 面體的表面積)
斜二測畫法直觀圖面積為原圖形面積的 frac { sqrt { 2 } } { 4 } 倍
面積射影定理：如圖，設平面α外的△ABC在平面α內的射影為△ABO，分別記△ABC的面積和△ABO的面積為S和S′ ，記△ABC所在平面和平面α所成的二面角為θ，則cos θ = S′ : S
圓錐的截面積：
圓錐過頂點的截面是一個等腰三角形，當這個截面同時過圓錐的軸時，截面就成瞭軸截面。在所有過圓錐頂點的截面中，面積最大的不一定是軸截面，設圓錐的母線是 l ，軸截面的頂角為alpha ，截面等腰三角形的頂角為 theta theta, 0 < theta leq alpha, 則截面面積為 frac { 1 } { 2 } l ^ { 2 } sin theta
當0 < alpha leq 90 ^ { 0 }時，面積最大的截面就是軸截面，最大截面面積為： frac { 1 } { 2 } l ^ { 2 } sin alpha
當 alpha > 90 ^ { circ } 時,面積最大的截面不是軸截面,而是過頂點且頂角為 frac { pi } { 2 } 的截面,最大截面面積為 frac { 1 } { 2 } l ^ { 2 }
在三棱錐P－ABC中，點P在平面ABC中的射影為點O.
(1)若PA＝PB＝PC，則點O是△ABC的________心．（外心）
(2)若PA,PB,PC與平面ABC所成的角相等，則點O是△ABC的________心．（外心）
(3)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，則點O是△ABC的________心．（垂心）
(4)若P到△ABC三邊的距離相等，則點O是△ABC的________心．（內心）
平行轉化法
當直線與平面平行時，直線上任意一點到平面的距離相等.在某點到平面的距離易求的前提下實行平行轉化，將較難的點到平面的距離轉化為較易求的另外一點到平面的距離。
比例轉移法
如圖，設點A為平面α外一點，過點A作平面α的斜線OA交α於點O，P為直線OA上的點，設A，P到平面α的距離分別為 h,h_0,則有 h = frac { | A O | } { | O P | } h _ { 0 } .
對稱轉移法
如圖，線段PQ與平面α相交於點O，若點O為線段PQ的中點，則點P與點Q到平面α的距離相等，這樣，若能求出點Q到平面α的距離，即為點P到平面α的距離.
擬柱體：所有的頂點都在兩個平行平面內的多面體叫做擬柱體，它在這兩個平面內的面叫做擬柱體的底面，其餘各面叫做擬柱體的側面，兩底面之間的垂直距離叫做擬柱體的高
擬柱體體積公式[辛普森 (Simpson) 公式]：設擬柱體的高為H，如果用平行於底面的平面γ去截該圖形，所得到的截面面積是平面γ與一個底面之間距離h的不超過3次的函數，那麼該擬柱體的體積V為 V = frac { 1 } { 6 } left( S _ { 1 } + 4 S _ { 0 } + S _ { 2 } right) H ，式中， S _ { 1 } 和 S _ { 2 } 是兩底面的面積， S _ { 0 } 是中截面的面積(即平面γ與底面之間距離 h = frac { H } { 2 } 時得到的截面的面積)
事實上，不光是擬柱體，其他符合條件(所有頂點都在兩個平行平面上、用平行於底面的平面去截該圖形時所得到的截面面積是該平面與一底之間距離的不超過3次的函數)的立體圖形也可以利用該公式求體積
如果三棱錐的三條側棱長相等，則頂點在底面射影是底面三角形的外心；
如果三棱錐的三個側面與底面所成二面角相等，則頂點在底面射影是底面三角形內心．
如果三棱錐的頂點到底面各邊的距離相等，且頂點在底面射影在底面三角形的內部，則頂點在底面射影是底面三角形內心．
如果三棱錐的三條側棱兩兩互相垂直，則頂點在底面射影是底面三角形垂心．
如果三棱錐的相對棱互相垂直，則頂點在底面射影是底面三角形垂心．
若正方體的頂點都在一個球面上（外接球），則球的直徑等於正方體的體對角線；
若正方體的各面都與一個球相切（內切球），則球的直徑等於正方體的棱長；
若正方體的各邊都與一個球相切（棱切球），則球的直徑等於正方體的面對角線；
若正四面體的頂點都在一個球面上（外接球），則球的半徑等於正四面體的高的3/4；
若正四面體的各面都與一個球相切（內切球），則球的半徑等於正四面體的高的1/4；
若正四面體的各邊都與一個球相切（棱切球），則球的直徑等於正四面體相對棱間的距離（可放在正方體中，是正方體的內切球）．
直線上n個點最多可分直線 C _ { n } ^ { 0 } + C _ { n } ^ { 1 } = n + 1 （段）
平面上n條直線最多可分平面 C _ { n } ^ { 0 } + C _ { n } ^ { 1 } + C _ { n } ^ { 2 } = frac { n ^ { 2 } + n + 2 } { 2 } 部分
空間裡n個平面最多可分空間 C _ { n } ^ { 0 } + C _ { n } ^ { 1 } + C _ { n } ^ { 2 } + C _ { n } ^ { 3 } 部分
（長度為 l 的線段在三條兩兩互相垂直的直線上的射影長分別為 l _ { 1 } , l _ { 2 } , l _ { 3 } ，夾角分別為 theta _ { 1 } quad theta _ { 2 } quad theta _ { 3 } ）（立幾中長方體對角線長的公式是其特例）.
l ^ { 2 } = l _ { 1 } ^ { 2 } + l _ { 2 } ^ { 2 } + l _ { 3 } ^ { 2 } Leftrightarrow cos ^ { 2 } theta _ { 1 } + cos ^ { 2 } theta _ { 2 } + cos ^ { 2 } theta _ { 3 } = 1
正多面體與球的關系(設正多面體棱長為 a ,外接球、內切球半徑分別為 R,r )
正多面體 { R } quadquad quad { r } quad quadquad frac{R}{r}
正四面體 frac { sqrt { 6 } } { 4 } a quadquad frac { sqrt { 6 } } { 12 } a quadquad 3
正六面體 frac { sqrt { 3 } } { 2 } a quadquad frac { 1 } { 2 } a quadquad sqrt { 3 }
正八面體 frac { sqrt { 2 } } { 2 } a quad quad frac { sqrt { 6 } } { 6 } a quad quad sqrt { 3 }
與正多面體有關的角度問題
(1) 正四面體相鄰兩側面所成二面角的餘弦值為 frac { 1 } { 3 }
(2) 正六面體相鄰兩側面所成二面角的餘弦值為 0
(3) 正八面體相鄰兩側面所成二面角的餘弦值為 – frac { 1 } { 3 }
(4) 正四面體中心對任兩個頂點所張角的餘弦值為 – frac { 1 } { 3 }
(5) 正六面體中心對任兩個頂點所張角的餘弦值為frac { 1 } { 3 }
(6) 正八面體中心對任兩個頂點所張角的餘弦值為 0
(7)若正四棱錐的側面與底面所成角為 alpha ,相鄰兩側面所成二面角為 beta ,則 cos beta = – cos ^ { 2 } alpha
過正方體A B C D – A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 }的任一頂點,作直線與A C , B C _ { 1 }都成60 ^ { circ },這樣的直線能作3條;都成30 ^ { circ }的直線能作1條;都成70 ^ { circ }的直線能作4條.
完美結束。
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