本篇內容以輻角原理為中心來介紹，而這個定理直接應用於方程在復數域中的某個區域內的根個數，下面就是主要內容：
- 輻角原理
- Rouche定理
- 輻角原理的應用
在介紹輻角原理之前先介紹一個引理
引理9.1
利用上述的引理可以得到我們想要的輻角原理
下面有幾個註意的地方
- m階的零點或者極點算作m個零點或者極點
- f 在 Omega 上亞純
- f 在 partialomega 上沒有零點或者極點
下面我們結合留數的幾何意義可以得出
周線 ( C:z=lambda left( t right) left( alpha le tle beta right) lambda left( alpha right) =lambda left( beta right) ) 在變換 ( omega =fleft( z right) ) 下的像為 ( Gamma :omega =fleft( lambda left( t right) right) =mu left( t right) )
則輻角原理中我們所研究的積分 ( frac{1}{2pi}Delta_Cargf(z)=frac{1}{2pi i}int_C{frac{f'left( z right)}{fleft( z right)}dz}=frac{1}{2pi i}int_{Gamma}{frac{domega}{omega}} )
對於 frac{1}{omega} 有
- 沿一條繞原點的周線的正向積分為 2pi i
- 沿一條繞原點周線的負向積分為 -2pi i
- 沿一條不繞原點的周線的積分為 0
從而 ( frac{1}{2pi i}int_{Gamma}{frac{domega}{omega}} ) 為 Gamma 圍繞原點的正向圈和負向圈數的代數和，所以我們可以得出下面的輻角定理的另一種形式
下面介紹Rouche定理
這個定理說明瞭和函數零點的個數取決於模較大函數在周線 C 中的零點個數
輻角原理的應用
例9.1
計算積分 ( frac{1}{2pi i}int_{|z|=4}{frac{z^9}{z^{10}-1}dz} )
- f(z) 在 |z|=4 上解析且不等於0，並且在 |z|<4 中有10個零點
- ( int_{|z|=4}{frac{z^9}{z^{10}-1}dz}=frac{1}{10}frac{1}{2pi i}int_{|z|=4}{frac{z^{10}-1}{z^{10}-1}dz}=frac{1}{10}left{ Nleft( f,C right) -Pleft( f,C right) right} =frac{1}{10}·10=1 )
例9.2
求方程 z^4+6z+3=0 在 |z|<1 和 1<|z|<2 內的根的個數
- 當 |z|=1 時 ( |z^4+3|le 4<6=|6z| ) 則 f(z)=z^4+6z+3 和 g(z)=6z 在 |z|<1 內有相同的零點個數，則隻有一個根
- 當 |z|=2 時 |6z+3|le15<16=|z^4| 則 f(z)=z^4+6z+3 和 g(z)=z^4 在 |z|<2 內有相同的零點個數，則有四個根
- 所以原方程在 |z|<1 內隻有一個根，在 1<|z|<2 內有三個根
例9.3
設 ainmathbb{C} ，n是一個正整數，如果 |a|>e 證明方程 e^z=az^n 在 |z|<1 內有n個根
- 設 f(z)=az^n,g(z)=-e^z
- 當 |z|=1 時有 |g(z)|=|e^z|le e^{|z|}=e<|a|=|az^n|=|f(z)| 則 h_1(z)=az^n-e^z 和 h_2(z)=az^n 在 |z|<1 內零點個數相同，所以得證