我國著名數學傢蘇步青教授有一次在德國訪問期間，一位有名的德國數學傢在電車上給他出瞭一道題，這道題我國小學生們一定都很熟悉：
甲乙兩人相向而行，距離為50 rm km.甲每小時走6rm km，乙每小時走4rm km，甲帶一隻小狗，小狗同甲一起出發，每小時能跑10rm km，當小狗碰到乙後又以同樣速度往甲方向跑，如此不停地往返於倆人之間，這樣繼續下去，直到甲乙兩人相遇時，小狗一共跑瞭多少千米？
你想到怎麼做瞭嗎？
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我
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是
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分
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割
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線
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一拿到這題，肯定不少小夥伴就開始拿起筆開始邊畫邊分析起來瞭“小狗第一次遇到乙時跑瞭多少，然後回到甲又跑瞭多少，巴拉巴拉”，然而再算下去可能就想要放棄瞭，太麻煩瞭，這要算到何年何月？
一拿到題目就開始寫是一個不好的習慣，有時甚至連題目都還沒讀完，這樣難免會陷入盲人摸象的窘境，“不識廬山真面目”.
如果我們能夠從整體出發來分析這道題的話，那就柳暗花明瞭：這題要求的是小狗的路程，很顯然，小狗的速度是恒定的，所以隻需知道小狗跑的時間即可.那小狗跑瞭多久呢？正好是甲乙倆人相遇的時間，即50 div (6 + 4) = 5(rm h)，所以小狗路程為5 times 10 = 50(rm km)，問題至此就解決瞭，通過運用整體的思想，我們便“不畏浮雲遮望眼”瞭.
相傳偉大的數學傢、現代計算機之父馮cdot諾依曼也曾經碰到別人問過他這個問題.馮cdot諾依曼也是瞬間給出瞭答案，提問的人很失望，說你以前一定聽說過這個訣竅吧，他指的是上面的這個做法.馮諾依曼說：“什麼訣竅？我所做的就是把狗每次跑得都算出來，然後算出那個無窮級數.”（中學在讀的小夥伴們可以自動忽視“無窮級數”一詞.）
馮大佬的回答有沒有讓你想起上一專題《方程思想》的第三重境界？要不說人傢是計算機之父呢！膜拜膜拜~
（馮cdot諾依曼）
整體思想
所謂整體思想就是從整體上去認識問題、思考問題，突出對問題整體結構的分析，發現問題整體結構的特征，從聚合的視角看問題，將問題中的式子、圖形通過其彼此之間的統籌起來作為整體來理解，常常能化繁為簡、變難為易．
整體思想的主要表現形式有：整體思考、整體加減、整體代換、整體構造等．在數學中的數與式、方程與不等式、函數與圖象、幾何與圖形等方面，整體思想都有很好的應用．
波利亞曾寫道：
整體思考
整體思考就是跳過問題細節，從整體上去認識問題，分析問題，常常可以使問題變得簡單.
【例1】 狗蛋在如圖所示的1rm m寬的小路上行走，當他從A處走到B處時，共走瞭多少米？
分析：此問題如果將其分割成每一個小段的長方形去求解，問題會變得非常復雜，而整體上去思考的話，我們嘗試把狗蛋走過的路拉直成如下圖的寬為1m一條直線，顯然長l即為狗蛋走過的路程.
由面積的不變性，l = 16 times 8 = 128(rm m).
練習1. 從A地到B地，前一段是上坡路，後一段是下坡路，某郵遞員騎自行車從A地到B地需要3小時，從B返回A地需要2小時.已知A地到B地總路程是36rm km，郵遞員騎車上坡的速度比下坡的速度慢6rm km/h，求從A到B的上坡和下坡的速度分別是多少.
（提示：整體考慮，完整的一個來回中，上坡、下坡路程均為36rm km.）
整體加減
對多個對象求和差運算時，有時單個對象難以求出或無法求出時，這時通過整體變換，使它們可以合並起來，進行整體加減，可以使問題簡單化.
【例2】某小區規劃在一個長40米，寬24米的矩形場地上修建三條同樣寬2米的通道，使其中兩條與長平行，另一條與寬平行，其餘部分種草，求草坪總面積.
分析：草坪沒有平均分，因此無法求出各個分割後的小草坪的面積再求和，需整體考慮，通過將通道平移的方式，將各個草坪聚集為一個矩形，然後求解，即left( {40 – 2} right) times left( {24 – 4} right) = 760(rm {m^2}).
練習2. 有一長80米，寬60米的廣場，按圖中位置修築一條路寬度均勻的折線形觀光小路，要使其餘空地面積為4620平方米，求路寬是多少米？
整體代換
在代數式求值問題中，如果式子比較復雜，可以觀察式子的特點，將復雜式子的相同的部分看作一個整體，用一個字母進行替代，然後通過運算，獲得這個整體的值，再將原代數式通過變換變成包含這個整體的式子，從而解出原代數式.
【例3】求值
left( {frac{1}{2} + frac{1}{3} + cdots frac{1}{{2020}}} right)left( {1 + frac{1}{2} + cdots frac{1}{{2019}}} right) – left( {1 + frac{1}{2} +cdots frac{1}{{2020}}} right)left( {frac{1}{2} + frac{1}{3}+ cdots frac{1}{{2019}}} right)
分析：直接計算的話計算量非常大且項數多，觀察式子，可以將相同的式子作為整體來考慮，通過換元法，將形式化簡.設frac{1}{2} + frac{1}{3} + cdots + frac{1}{{2020}} = x，frac{1}{2} + frac{1}{3} + cdots + frac{1}{{2019}} = y，則原式 = xleft( {1 + y} right) – left( {1 + x} right)y = x – y = frac{1}{{2020}}
練習3. （2020貴州遵義）已知x_1,x_2是方程x^2-3x+2=0的兩根，則x_1^2+x_2^2的值為_______
整體構造
在幾何添加輔助線時，要從整體角度考慮去添加，通過輔助線對問題中圖形進行補全，使之成為一個熟悉的基本圖形或基本模型（如等腰三角形、拉手模型等），從而發現隱含信息，並使本不相關的一些信息可以集中在一起.
【例4】AO是∠BAC的平分線，BD⊥AO，交AO的延長線於點D,E是BC中點.求證：DE = frac{1}{2}left( {AB – AC} right).
分析：由角平分線和垂直，因聯想到等腰三角形，因此可以通過補形來達到目的. 延長AC,BD，交於點F.去證AB = AF，再由DE為△BCF中位線，得DE = frac{1}{2}CF = frac{1}{2}left( {AF – AC} right) = frac{1}{2}left( {AB – AC} right).
練習4. 如圖，已知AD為圓O直徑，AB=BC，連接AC,BD，求證：ADcdot AC=2BDcdot AB.
寫在最後
2020年新冠疫情突襲，最先遇敵“閉卷考試”的我國付出瞭巨大的代價，用三個月實現決定性“突圍”並成功穩住瞭戰果；然而時間窗口充裕，各方面資源條件也更具優勢的發達國傢卻一個個在“開卷考試”中焦頭爛額.我想，造成這巨大反差的，就是整體考慮與各自為政的區別.我們“抗疫一盤棋，上下一條心”，而西方則更多的是“個人主義，自私自利”（英學者馬丁cdot 雅克）.以整體思想為指導，統籌每個個體協調合作，才是解決難題的方式.
向每一位在抗疫中付出的人致敬！
【參考文獻】
陳永明.講評數學題[M].上海科技教育出版社.2013.
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