預告

讀完本文，你將會瞭解 ZF 公理集合論的前三個公理——“存在公理”、“外延公理”以及“分離公理模式”，並用它們解決羅素悖論，以及定義空集。

前言

我們常聽到“集合論是現代數學的基礎”這樣的說法。在很多人看來，中學所學的集合論就是一些集合和簡單的運算，怎麼會是基礎呢？要理解這一點，我們必須瞭解集合論是如何公理化的。

自歐幾裡得《幾何原本》以來，公理化的觀念深入人心。公理化的意義無需贅言。微積分的公理化解決瞭第二次數學危機（貝克萊對牛頓微積分中“無窮小”的責難）；集合論的公理化則解決瞭第三次數學危機。然而，與古希臘的那種傳統公理化方式不同，現代數學的公理化脫離瞭自然語言，而建立於符號語言上。為什麼要這樣做？

在弗朗西斯·培根的偶像理論中，“市場偶像(Idol of the market place)”描述瞭自然語言的模糊性和歧義性所導致的假象。這是追求嚴謹性的數學應該避免的。第三次數學危機使人們意識到，用自然語言描述數學對象是危險的。無論你的自然語言看似多麼密不透風，也有可能給謬誤以可乘之機。

解決這個問題的唯一辦法，就是拋棄自然語言，轉而使用符號語言。這些符號語言構成現代邏輯學的公理系統。研究這些符號語言的學科就叫做數理邏輯。

本文旨在梳理人們是如何利用符號語言，將現代數學建立在集合論的基礎之上的。因此，在介紹公理集合論之前，我們需要介紹數理邏輯，以及最基本的兩種邏輯系統：命題邏輯系統和一階邏輯系統。

數理邏輯簡介

自然語言之所以存在漏洞，一部分是因為，它是由人的心智創造並解讀的。而人的心智“不是白板（tabula rasa）”。由於隱含的扭曲，它不是一個完美的能夠完全接受世界中形象的平面，而是一個彎曲的鏡子。換言之，人的心智天生就容易被欺騙。

符號語言之所以取得成功，就是因為它脫離瞭人的心智，隻留下瞭形式化的規則。理論上，計算機也可以使用這樣的語言進行推理，而不會出錯。這是因為，符號語言沒有模糊性和多義性，一切都是嚴格確定的。我們隻需以適當的方式確定組織符號的規則，使得從它們出發，就可以重建我們所熟悉的數學。這樣一來，數學就建立在瞭堅實的基礎上，絕不可能出錯。在這樣嚴密的審視之下，我們不會留給“羅素悖論”這類謬誤以任何可乘之機。

那麼這些符號規則從哪來？答案是數理邏輯。正如我們希望用集合論公理決定“如何定義新的集合是合法的”，數理邏輯決定“符號如何構成公式（也就是一串符號）是合法的”。本質上，數學中的定義，定理，證明，在底層都是一串串符號，正如計算機的底層都是1和0。

像 “p→p” 這樣顯然的邏輯規則，在數理邏輯中是需要證明的。你可能覺得從語義上可以直接看出這一點，但我們現在希望從語法的角度，而非語義的角度，去研究各種各樣的式子以及它們的合法性。

更具體地說，語義學負責研究人類的心智如何闡釋（Interpret）一串符號，或者說一串符號如何借助人類的心智來指稱現實世界的各種實體。但數理邏輯研究的並不是語義，而是語法。語法的作用，正如前文所說，是判斷“符號如何構成公式（也就是一串符號）是合法的”。換句話說，語法指的是我們用符號來生成公式（也就是一串符號）的規則。為瞭建立堅實的符號語言系統，我們應該單獨研究語法。這就是數理邏輯的初衷。

數理邏輯是關於邏輯的學科，而不是“關於數學和物理的邏輯”。數理邏輯是一門已經發展成熟的學科。集合論建立在數理邏輯中的一階邏輯的基礎之上。

命題邏輯

neg a 表示“並非 a ”。如果 a 是真的，那麼 neg a 是假的，反之亦然。換言之， neg 的真值表為

a vee b 表示“ a 或 b ”。

a wedge b 表示“ a 且 b ”，它等價於“ neg(neg avee neg b) ”。它們的真值表是容易寫出的（請讀者寫出）。

arightarrow b 表示“若 a 則 b ”，或“ a 蘊涵 b ”。它的真值表如下

定義 aleftrightarrow b 為 (arightarrow b)wedge(brightarrow a) 。

命題邏輯的公理系統包括四個部分：符號庫、形成規則、公理、推演規則（見選讀 3）。我們在這裡不必深究命題邏輯系統如何導出那些顯然的邏輯規則（在命題邏輯的公理系統中，像 p→p 這樣顯然的公式是需要證明的）。我們隻需要知道：我們的符號和邏輯的基礎是堅實的。如果你實在很擔心這一點，可以先學習數理邏輯，再學習公理集合論。

一階邏輯

以上介紹的 {neg,wedge,vee,rightarrow, leftrightarrow } 叫做命題聯結詞，它們加上形成規則、公理、推演規則，可以構成一個命題邏輯系統。接下來我們看看量詞。命題邏輯系統加上量詞及其相關的規則和公理，就成為瞭一個一階邏輯系統。

exists x(varphi(x)) 表示“存在 x 滿足 varphi(x) ”，其中 varphi(x) 是 x 的一個性質。

forall x(varphi(x)) 表示“對任意 x 都有 varphi(x) ”。它等價於“ neg exists x negvarphi(x) ”，即“不存在不滿足 varphi(x) 的 x”。

可見，量詞隻需要 exists 就充足瞭， forall 可以用 exists 表示出來。

下面是一些簡單的訓練，它們將進一步幫助你熟悉一階邏輯系統——公理集合論的符號語言。

1) forall x(xin Arightarrow varphi(x)) 可以簡寫成 forall xin A, varphi(x) 。它表示“對於 A 中的所有 x ，都有 varphi(x) ”。

2) forall x(xin Aleftrightarrow varphi(x)) 表示“對於 A 中的所有 x ，都有 varphi(x) ，並且，滿足 varphi(x) 的 x 都屬於 A ”。換言之， A 中有且僅有那些滿足性質 varphi 的元素。

3) exists x(xin A wedge varphi(x)) 可以簡寫成 exists xin A, varphi(x) ，它表示“在 A 中存在某個 x ，使得 varphi(x) ”。

限於篇幅，本文隻介紹瞭命題邏輯的公理系統（見選讀 4），不再介紹一階邏輯的公理系統。

羅素悖論

我們在中學所學的集合的定義，無非就是“一些元素所構成的整體”，並且還要定義一些性質：

確定性（一個對象要麼屬於集合 A ，要麼不屬於 A），

無序性（改變元素次序不改變集合），以及

互異性（集合中的任意兩個元素不相同）。

這三個性質看似確定瞭集合的概念。然而，從現代數學的觀點看來，它們隻不過是樸素且漏洞百出的自然語言。它們沒有說明集合是如何可能的，以及如何合法地定義新的集合等問題。

為瞭充分說明這一點，我們來看看羅素悖論。定義一個這樣的集合

B={x|xnotin x}

即 B 是全體“不屬於自己的集合”所構成的集合。這個對象沒有為樸素集合論所禁止，但卻是災難性的。

現在問一個簡單的問題：B 屬於自己嗎？如果 B 屬於自己，那麼按照 B 的定義，B 就不屬於自己，如果 B 不屬於自己，那麼根據定義，B 就屬於自己。於是我們得到瞭“p當且僅當非p”，這違反瞭排中律。這就是羅素悖論。

（此處的悖論特指邏輯學意義上的悖論，即“p當且僅當非p”）

這樣的對象應當被禁止，可是樸素集合論卻沒有禁止它。換言之，樸素集合論是“不一致的”。不一致的系統是沒有用的，因為你可以從“p 當且僅當非 p”證明任意命題，證明如下

能推出一切命題的理論顯然是無用的。所以人們要重新建立集合論。

我們之所以先介紹羅素悖論，是為瞭讓讀者感受到自然語言被取代的必要性。在接下來對集合論進行公理化的技術細節中，我們會解決羅素悖論，從而讓讀者體會到符號語言代替自然語言的重大意義。

本體論承諾（ZF0: 存在公理）

在上一節中，我們看到瞭 B={x|xnotin x} 是一個不合法的定義。新的集合論應該要避免這個問題。如何避免？既然問題出在定義上，那我們可以從根源下手，用一套公理來確定定義新集合的規則，這樣，當我們定義新集合的時候，隻要看它有沒有按照這些公理來進行即可。換言之，公理是我們定義新集合的唯一依據。

要從已有的集合定義新的集合，首先我們得有一個集合。因此我們的第一個公理叫做“存在公理”：

它表明，存在一個集合。

別笑！如果我們隻有一些由集合生成集合的規則，卻沒有一個集合可以用，那麼數學宇宙就會是一無所有的。“巧婦難為無米之炊”，存在公理不是個玩笑。

當我們用符號去指稱一個實體之前，我們總是假設瞭有一個實體是存在的。關於對實體的存在性的承諾就叫做本體論承諾。

這是一個不錯的開始，因為這是我們第一次完全使用抽象符號，而不是說出“集合是一些元素所構成的整體”之類的自然語言。

實際上，存在公理可以由其他公理導出，但是為瞭學習的方便，我們暫且將它作為第“零”個公理，之後在適當的時機拋棄它。它其實就是個腳手架，當建築建造完以後，它就會被拆除。

你可能註意到瞭“ x=x ”是一句廢話。為什麼要這麼做？因為根據公理系統的符號規則，“ exists x ”後面得跟上一些東西。由於我們隻是想表達“存在一個集合”，所以後面隻要跟上一個真命題即可。

你可能還註意到瞭 x 隻不過是一個符號，公式 exists x(x=x) 本身並沒有表明它是一個“集合”，萬一它是個數字呢？別急，到目前為止，數字還沒有定義，因為我們把集合論當作基礎。從基礎出發意味著我們需要忘掉數學中的其他一切事物。

你可以想象這樣一幅畫面：數學的世界剛剛誕生，幾乎空無一物，隻有一個叫做“一階邏輯”的星球漂浮於其中，上面有一些取之不盡的原料（符號庫），地基（公理）以及一些符號規則（形成規則和推演規則）。然而，漫無目的地用規則不斷生成新的公式（一串符號）是沒有用的。我們需要創造出一些公理，從而讓這些符號組織成一些有用的東西。這些最初的公理就是集合論的公理。後面我們會看到數字也是用集合定義的。

符號“ x ”隻是個“東西”，隻不過我們把這個東西叫做集合。而本質上，建立在集合論上的一切數學對象都是集合：數字“ 3 ”是個集合，有序對 (1,2) 也是個集合……隻不過當一個集合有瞭新的結構，我們會給它取上新的名字，比如“整數”、“有序對”、“環”、“概率空間”、“代數”等。如果你現在感到很詫異，沒關系，後面我們會理解這一點。

你也可以這麼理解，計算機上最復雜的軟件，在底層都不過是 1 和 0，隻是它們擁有復雜的組織和結構罷瞭。

現在我們已經有瞭一個公理。公理是不能被證明的東西，而是數學宇宙的上帝（也就是數學傢們）憑空創造的。繼續豐富我們的數學宇宙吧。

加入屬於號（ZF1: 外延公理）

在創造新的集合之前，我們還要定義如何判定兩個集合相等：

它表明：如果 A 中的每個元素都屬於 B，且 B 中的每個元素都屬於 A，那麼 A 和 B 相等。

等等，我們還沒有定義“ in ”是什麼！沒關系，在數理邏輯中我們有一個符號庫，像“ forall ”、“ exists ”、甚至括號“ ( ”這樣的符號都在這個符號庫中，我們隻需要往符號庫中加入一個新的符號“ in ”表示某種二元關系即可（“ notin ”可以用“ in ”和“ neg ”等符號來定義）。註意，符號庫本身沒有對符號做出任何規定和解釋，給符號賦予結構和意義的是與之相關的公理。

需要強調，“ in ”隻代表一種二元關系，人們會把“ in ”前面的對象想成是“被含有的東西”，後面的對象想成是“含有瞭一些東西的東西”，但是對於“ in ”來說，它前後的東西沒有什麼不同，都是某種“東西”。而“ in ”自己也不過是一個遵循某種規則的謂詞而已。我們現在要習慣用忘掉一切的方式去思考，正如笛卡爾所做的那樣。

這個公理的意義在於，它確定瞭符號“ in ”的第一個性質：相等。如果每個與 A 發生瞭“ in ”關系的對象都同樣與 B 發生瞭“ in ”關系，且反之亦然，則我們說 A 和 B “相等”。

回到正題，註意到這個公理是如何蘊含瞭所謂的“確定性”、“無序性”和“互異性”。實際上，根據符號規則（這裡我們沒有列出），集合 {x,x,y} 是一個合法的公式，隻不過根據外延公理，它和 {x,y} 相等罷瞭（{x,x,y} 中的每個元素都屬於{x,y}，反之亦然）。我們可以把所有和 {x,y} 相等的集合都記作 {x,y} 。這就是所謂的互異性；而無序性就更簡單瞭，符號規則本身就沒有對順序做出任何規定，對集合內部的元素而言，唯一有用的信息就是二元關系“ in ”，並沒有別的符號規定其他的關系，比如序關系（那是我們以後要定義的）；最後，確定性也是被蘊含的，因為這顯然被邏輯學的基本規則（排中律）所確定瞭。可見我們根本就不需要用“互異性”之類的自然語言。

空集（ZF2: 分離公理模式）

到目前為止我們仍然沒有一個確切的集合可以用，因為存在公理隻是說明存在一個集合，並沒有告訴我們關於這個集合的更多信息。當然，我們可以記這個存在的集合為 A，然後以它為原料來創造新的集合。但還有更好的做法，也就是定義一個空集作為原料。這樣我們至少確切地知道這個原料是什麼。

然而，從目前的公理，我們是定義不出空集的。我們還需要一個公理：

之所以叫它分離公理模式（Axiom Schema），是因為 varphi(x) 代表瞭任何一串（與 x 有關的）合法符號，也就是說，這一條公理包含瞭無數多條公理。下面我們就將其簡稱為分離公理。

分離公理的意義是，給定任意一個集合 A，我們可以依據性質 varphi ，將A中所有滿足 varphi 的對象分離出來，構成一個新的集合。我們記這個新的集合為 B={xin A|varphi(x)} 。

終於，我們有瞭第一個構造性公理。構造性公理指的是從舊的集合構造出新的集合的規則。

當然，隻知道這樣的規則沒有用，我們得先有一個“舊的集合”。幸好，由存在公理知道，我們至少是有一個“舊的集合”可以用的。

註意！我們通常所寫的 B={x|varphi(x)} ，在目前看來是不合法的，因為它並不是從已有的集合得到的，而是直接規定瞭一個性質 varphi ，並憑空地抽取瞭全體滿足 varphi 的元素，來構成一個集合。這實際上不是集合，而是一個“類”（Class）。它就是導致羅素悖論的罪魁禍首！羅素悖論就是憑空抽取瞭全體滿足“不屬於自己”這個性質的元素來構成集合。這是錯誤的。這樣做隻能構成一個類，而不是一個集合。

存在公理斷言存在一個集合，接下來我們就用分離公理構造一個確切的集合——空集。

根據存在公理，存在一個集合 X （雖然我們不知道它具體是什麼），再根據分離公理，{xin X|xneq x} 是一個集合。

假命題 xneq x 可以推出 xin X ，當然也可以推出 xin Y ， xin Z 等，而 X ， Y ， Z 有可能是不同的集合。也就是說這樣的集合可能有很多個，但下面我們要用外延公理證明這些集合是相等的。

記A= {xin X|xneq x} ,B= {xin Y |xneq x} 。其中 X 和 Y 是任意集合。我們隻需要證明 A=B 。

根據外延公理：forall A forall B(forall x(x in Aleftrightarrow x in B)rightarrow A=B) 。可見我們隻需要檢查對於任意 A 和 B ，forall u(u in Aleftrightarrow u in B) 是否成立。

實際上，由於 A= {xin X|xneq x} ，故對於任意 x ， xin A 都是假的（否則會導出矛盾式 xneq x ）。而假命題可以推出一切命題，因此 x in Arightarrow x in B 。

（註意，x in Arightarrow x in B 為真並不代表 xin A 為真）

我們剛剛證明瞭 forall x (x in Arightarrow x in B) ，而用同樣的理由也可以證明 forall x (x in Brightarrow x in A) ，所以 forall x (x in Bleftrightarrow x in A) ，從而 A=B 。

這樣一來，我們就證明瞭{xin X|xneq x} 是唯一的，也就是說，它與 X 具體是什麼無關。我們將這個唯一確定的集合記作 emptyset ，稱為空集。

從上述分析中可以發現，空集不包含任何東西，因為對於任意 x ， xin emptyset 都是假命題。

註意到我們沒有用“空集不包含任何東西”這樣的自然語言來定義空集，而是先用公理來定義空集，再證明“空集不包含任何東西”。這是形式公理化代替自然語言的一個體現。

我們現在終於有瞭一塊磚頭，接下來我們可以用空集這塊磚頭，去搭建更多的集合。不過在那之前，我們可以先把羅素悖論解決瞭。

羅素悖論的解決

回想一下羅素悖論是怎麼產生的。我們先是定義瞭B={x|xnotin x} ，並推出瞭 Bin Brightarrow Bnotin B 以及 Bin Bleftarrow Bnotin B ，從而引起瞭矛盾。為瞭解決羅素悖論，我們隻需要使它們其中一個不成立即可。我們將要使後者不成立。推導如下：

這樣我們就解決瞭羅素悖論，即集合 B 不屬於自身，僅此而已，沒有矛盾發生。

如果你覺得這一切發生的太快，我下面再用更自然的語言描述一遍。本來我們是憑空地用性質“不屬於自己”來定義一個集合 B，而分離公理模式告訴我們這樣做不行。這就是問題的關鍵！我們必須要從一個已有的集合 A 分離出新的集合B，而 A 被證明是不含有元素 B 的，從而“B不屬於自己”不能推出“B屬於自己”。註意到從“B不屬於B”推出“B屬於B”還需要一個條件，就是“B屬於A”。

再換句話說，羅素悖論的關鍵在於“自我指代”，而分離公理消除瞭“自我指代”的可能。B 指代的隻有 A 中的元素，而不是任何元素都能被 B 的定義指代。

以上的分析還證明瞭，對於任何一個集合 A ，總有一個集合B={xin A|xnotin x} 不屬於 A （根據(3)）。因此，所有集合構成的集合是不存在的，或者說，包含一切的集合是不存在的。

中場休息

本文介紹瞭集合論公理系統的前三個公理——“存在公理”、“外延公理”以及“分離公理模式”，並用它們解決瞭羅素悖論，以及建造瞭我們的第一個集合——空集。

在下篇文章中，我們會介紹更多的公理，並用它們來創造一些數學對象，比如自然數。

存在公理可以由後面的“無窮公理”導出，但是為瞭學習的方便，有時候先將其作為第“零”個公理，之後再將其剔除。實際上隻有 9 個公理，它們分別是

ZF1 外延公理

ZF2 分離公理模式

ZF3 對集公理

ZF4 並集公理

ZF5 冪集公理

ZF6 無窮公理（可以導出存在公理）

ZF7 正則公理

ZF8 替換公理模式

ZF9 選擇公理

前八個公理構成所謂的“ZF”公理系統，再加上選擇公理就構成“ZFC公理系統”。“Z”和“F”提出者姓名的首字母，“C”則代表“Axiom of Choice”——選擇公理。

本篇文章的續集：