僅供參考，若有出入，請以《聲學基礎》或《Acoustics: Sound Fields and Transducers》為準。歡迎指出，我將進行思考和修改。全系列請看：

1. 聲和電的基本概念（復習）

對於如下的常見電路圖，我們有一些基本的電學概念。

圖1. 電路圖

此電路圖的阻抗為 Z_e=dfrac{u}{i}=R+jomega L+dfrac{1}{jomega C}=R+jleft(omega L-dfrac{1}{omega C}right)\

1.1 共振頻率

共振頻率，在振動中表示振幅最大時的頻率。在電路裡同理，隻不過一般用電路阻抗 Z_e 最小表示（振幅最大和阻抗最小是等價的）。在圖1所示的基本電路圖中，當 Z_e 為實數時，阻抗最小。即 omega L-frac{1}{omega C} = 0\ 其對應的共振頻率為 f_r = frac{1}{2pi}sqrt{frac{1}{LC}}tag{1}

1.2 帶寬

見圖1，其輸入電壓為 u ，輸出電壓為 u_R 。所以我們可以寫出電壓的轉換方程， dfrac{u_R}{u}=dfrac R{Z_c}=dfrac R{R+jomega L+dfrac1{jomega C}}=dfrac1{1+dfrac{jomega}Rleft(L-dfrac1{omega^2C}right)}\ 我們發現上述方程在高頻（ fto infty ）和低頻（ fto 0 ）時， u_R/uto0 ，且隨頻率線性衰減或者線性增加。而且在共振頻率處， u_R/u=1 。對於工程來說，什麼頻率表示通過（ u_R/uapprox1 ），什麼頻率表示不通過呢（ u_R/uneq1 ）？一般我們用帶寬來進行表示。即-3dB表示帶寬，即隻要 u_R/u>text{max}{u_R/u}/sqrt{2} 考慮為通過。

對於圖1的電路圖，可以很容易地找到其帶寬，最低頻率 f_b 和最高頻率 f_h ， begin{align} f_b=dfrac{1}{2pi}dfrac{-R+sqrt{R^2C+4L/C}}{2L}\ f_h=dfrac1{2pi}dfrac{R+sqrt{{R^2C+4L}/C}}{2L}quad end{align}tag{2} 因此帶寬寬度為 f_h – f_b = frac{1}{2pi}frac{R}{L} 。

1.3 品質因子

形容帶寬胖瘦的指標，見圖2。其定義為 Q=dfrac{f_{r}}{f_{h}-f_{b}}=dfrac{omega_r}{omega_h-omega_b}=dfrac{sqrt{L}}{Rsqrt{C}}tag{3}

圖3. 品質因子

1.4 赫姆霍茲共振器

由上一篇文章路過：電聲入門——電力聲轉換，我們知道，一端閉管一端開管是彈簧（電容），兩端開管是質量（電感）。那麼將其組合在一起，變成為赫姆霍茲共振器，即聲學裡的彈簧振子。見圖4。

圖4. 赫姆霍茲共振器

很容易想象，圖中紅色框住的氣體，當其因為低頻聲而左右振動時。左邊容器裡的氣體，跟隨其壓縮膨脹。就像一個彈簧一樣。而紅色框住的氣體就像一個質量。如果考慮氣體因為邊界粘滯阻力和熱運動產生的聲損失，這變成一個完整的阻尼彈簧振子。赫姆霍茲共振器的共振頻率為： f_r=frac{1}{2pi}sqrt{frac{1}{M_aC_a}}=frac{c}{2pi}sqrtfrac{S}{LV}tag{4} 其中 c 為聲速。 S,L,V 分別為窄管的截面積，長度和容器的體積。見圖4。

下圖為一個酒瓶的頻響曲線，對於低頻來說，酒瓶也可以看作一個赫姆霍茲共振器。

圖5. 酒瓶的頻響曲線

2. 電力耦合（復習）

圖6. 揚聲器的部分解剖圖

根據安培力公式，我們可以得到揚聲器裡的電部分與力部分的連接。 begin{align} U-Z_ei &= Blv\ i &= frac{F_{em}}{Bl} end{align}\ 將上述方程式寫成矩陣形式 left(begin{array}{c c}U-Z_ei\ iend{array}right)=left(begin{array}{ccc}0&Bell\ dfrac{1}{Bell}&0end{array}right)left(begin{array}{c}F_{em}\ vend{array}right)tag{5} 因為從上一篇文章路過：電聲入門——電力聲轉換，我們知道，阻抗型力電轉換中 F 對應電壓， v 對應電流。可以寫出電力耦合的電路圖。

圖7. 電力耦合的電路圖

這個耦合是回轉器。

3. 力聲耦合

首先回顧一下什麼是聲，以及聲怎麼產生。詳細見路過：聲波—— 一維平面波（上）。聲是空氣分子團周期性振動從而引起的能力或者信號的傳遞。也就是說，對於電聲來說，假設一個膜或者板，我們讓他振動（不一定要周期振動，因為任何非周期函數可以通過傅裡葉轉換成周期函數的積分），這個振動便會引起緊挨著的空氣分子運動，從而將這個運動傳遞。

圖8. 膜或者板的振動

我們分析圖8的振動情況，我稱在板右邊的壓強為 p_u = p_0 +p_{ur} ，在板左邊的壓強為 p_d = p_0 +p_{dr} 。其中 p_0 是大氣壓強， p_{ur},p_{dr} 是聲壓。那麼這個板因為壓強差而產生的力為 F_{air} = -(p_u-p_d)S_d = (-p_{ur}+p_{dr})S_dtag{6} 其中 S_d 是板的面積。

並且我們可以看到，對於周期運動，當板運動到圖8位置時（右邊的最大位置），對右邊的氣體分子團來說是壓縮到最小，而對於左邊的氣體分子團來說是膨脹到最大。而當板運動到左邊的最大位置時，正好相反。就是說左右兩邊的壓強相位相反，大小相等。

同時我們有聲流和速度的關系 q = S_dcdot vtag{7} 其中 v 是板振動的速度。有同學可能會好奇，為什麼這裡的面積是 S_d ，而不是其他的面積呢？比如說圖9的（2）就貌似不對。如果我們仔細思考公式（6）中 p_{ur},p_{dr} 指代的是什麼變會明白。 p_{ur},p_{dr} 指的是緊挨板的那一些分子團，所以自然這些分子團對應的聲流使用 S_d 。

圖9. 力聲鑲嵌

因此我們將公式（6）,（7）整理成

圖10. 力聲耦合

這個是變壓器。

現在問題變成瞭，如圖9所示的相嵌方式對於p_{ur},p_{dr}的影響。比如（1），（2）兩種方式，即使同樣的在外界為p，他們的 p_{ur} 必定不一樣。

對於第一種鑲嵌方式，直接是耦合的

圖11. 力聲鑲嵌(1)

對於第二種鑲嵌方式，由於截面的不連續，需要添加一個聲質量 M_{ad} 。至於為什麼和該如何求得，我也不知道。我打算今年下半年詢問電聲專業的朋友。

圖12. 力聲鑲嵌(2)

對於第三種鑲嵌方式，由於半平面聲輻射，根據索墨菲爾條件，沒有從無限遠場回來的聲波。所以不存在所謂的 p 。也就是說，電路圖會形成回路。其中聲質量 M_{ar} 和聲阻 R_{ar} 是聲輻射產生的。至於為什麼和該如何求得，我也不知道。我打算今年下半年詢問電聲專業的朋友。

圖13. 力聲鑲嵌(3)

其中 M_{ar} = rhofrac{8}{3pi}frac{r}{S_d},;R_{ar} = frac{rho c}{S_d}frac{1}{2}(kr)^2\ 其中 r 是板的半徑。

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