本文所謂的終極不等式整理自李偉固老師的不等式講座。

多年以前筆者曾經聽過李偉固老師的不等式講座，感覺受益匪淺，當時的競賽環境有非常多的三元輪換不等式題目，因此李老師的一句話令我記憶猶新：我們能不能找到一種機械的方法，通用地去解決這些不等式問題？

而方法便是這份所謂的“終極不等式”。名字應該是李老師取的，雖然有點中二但是確實很強大。

第一步：

作換元 s=a+b+c ， q=ab+bc+ca ， p=abc

我們知道所有的三元對稱式都能僅用 s,q,p 來表示，譬如 a^2+b^2+c^2=s^2-2q

以及 a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=dfrac{1}{2}left[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2right]geqslant0 可以知道 s^2geqslant3q

第二步：

構造函數 f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)=x^3-sx^2+qx-p

這是一個三次函數，它有三個實根，因此它的各項系數 s,q,p 必須滿足某個條件。

作為三次函數，它需要存在三個實根的充要條件如下：

它需要有一個極大值點和一個極小值點，同時 0 需要介於極小值和極大值之間。

為此計算 f'(x)=3x^2-2sx+q ,解得兩根 x_{pm}=dfrac{spmsqrt{s^2-3q}}{3}

極值滿足 f(x_{-})geqslant0geqslant f(x_{+})

第三步：

直接代入 x_{pm} 到 f(x) 的表達式計算是比較困難的，為此我們使用以下技巧

設 f(x)=u(x)f'(x)+r(x) ,通過長除法解得

u(x)=dfrac{x}{3}-dfrac{s}{9} , r(x)=left( dfrac{2}{3}q-dfrac{2}{9}s^2 right)x+left( -p+dfrac{sq}{9} right)

那麼 f(x_{pm})=r(x_{pm}) ，也就是 r(x_{-})geqslant0geqslant r(x_{+})

進而得到以下不等式，稱為終極不等式

dfrac{1}{27}left( 9sq-2s^3-2left( s^2-3q right)^{frac{3}{2}} right)leqslant pleqslantdfrac{1}{27}left( 9sq-2s^3+2left( s^2-3q right)^{frac{3}{2}} right)

很顯然，稱其為終極不等式的原因，就是所有三元對稱不等式都可以看成此不等式的推廣。

並且它具有的優點則是不需要假定變量是正的，以及它能對 p 進行兩頭的估計，又有大於等於也有小於等於。

當然，這個不等式最大的缺點就是過於麻煩。

以下是一道利用以上不等式解決的例題

例：已知實數 a,b,cgeqslant0 , ab+bc+ca=a+b+c ，

求證 1+a+b+cgeqslant4abc

證：不等式等價於證明 pleqslantdfrac{1+s}{4}

由終極不等式，

pleqslantdfrac{1}{27}left( 9sq-2s^3+2left( s^2-3q right)^{frac{3}{2}} right)

隻要證明 dfrac{1}{27}left( 9sq-2s^3+2left( s^2-3q right)^{frac{3}{2}} right)leqslantdfrac{1+s}{4}

代入條件 q=s 消去 q

Leftrightarrow36s^2-8s^3+8left( s^2-3s right)^{frac{3}{2}}leqslant27+27s\ Leftrightarrow8left( s^2-3s right)^{frac{3}{2}}leqslant8s^3-36s^2+27s+27=(s-3)(8s^2-12s-9)\ Leftrightarrow8s^{frac{3}{2}}left( s-3 right)^{frac{1}{2}}leqslant(8s^2-12s-9)\ Leftrightarrow64s^3(s-3)leqslant64s^4-16cdot12s^3+18cdot12s+81\ Leftrightarrow27(8s+3)geqslant0

證畢。

二次更新：

理論上說終極不等式能夠破解所有三元對稱不等式，但是缺點就是太麻煩瞭。一般情況下的不等式用不到這個方法。

這裡就拿評論區的一道題目來破解一下。

題目如下：

對於非負實數 a,b,c 證明以下不等式

a^2+b^2+c^2+2abc+1geqslant 2(ab+bc+ca)\ 先說一下這道題目的標準解法：

解：不妨假設 a,b 在 1 的同側，也就是 (a-1)(b-1)geqslant0

那麼 a^2+b^2+c^2+2abc+1-2(ab+bc+ca)=(a-b)^2+(c-1)^2+2c(a-1)(b-1)geqslant0

得證。

為瞭說明終極不等式的威力，這裡演示一遍暴力破解的方法：

解：作換元 s=a+b+c ， q=ab+bc+ca ， p=abc

隻要證明 s^2-2q+2p+1geqslant 2q

也就是 pgeqslantdfrac{1}{2}(4q-s^2-1)

那麼右側為負時不等式顯然成立，為此我們不妨假設 qgeqslantdfrac{s^2+1}{4} 結合 s^2geqslant3q

為此，結合終極不等式，我們需要在條件 color{red}{dfrac{s^2}{3}geqslant qgeqslantdfrac{s^2+1}{4}} 下（註意此式蘊含 sgeqslantsqrt{3} ）證明如下不等式

dfrac{1}{27}(9sq-2s^3-2(s^2-3q)^frac{3}{2})geqslant dfrac{4q-s^2-1}{2}

Leftrightarrow18(s-6)q+(-4s^3+27s^2+27)geqslant16(s^2-3q)^frac{3}{2}

在兩邊平方之前，我們要先驗證左邊非負，左邊為關於 q 的一次函數，隻需要代入兩個端點的值證明非負即可

18(s-6)dfrac{s^2}{3}+(-4s^3+27s^2+27)=(s-3)^2(2s+3)geqslant0

18(s-6)dfrac{s^2+1}{4}+(-4s^3+27s^2+27)=dfrac{s(s^2+9)}{2}geqslant0

因此我們對需要證明的式子兩邊平方，隻要證明

left(18(s-6)q+(-4s^3+27s^2+27)right)^2geqslant16(s^2-3q)^{3}

打開後，隻要證明

16q^3-4(s^2+36s-108)q^2+4(17s^3-54s^2+9s-54)q-(s^2+1)(8s^3-27s^2-27)geqslant0

整理得到關於 q 的不等式，把左邊記作 f(q) 為關於 q 的三次函數，定義域為 left[dfrac{s^2+1}{4},dfrac{s^2}{3}right]

下面判斷函數 f(q) 的單調性

求導 f'(q)=4left[12q^2-2(s^2+36s-108)q+4(17s^3-54s^2+9s-54)right]

判別式 begin{align} Delta&=16left(4(s^2+36s-108)^2-48(17s^3-54s^2+9s-54)right) \&=64(s-6)(s^3-126s^2+972s-2052) end{align}

取 g(s):=s^3-126s^2+972s-2052 求導判斷單調性不難證明 g(s) 具有唯一實根 s^*approx117.9

我們知道 Delta 有兩個正實根 s_1=6,s_2=s^*

①當 6leqslant sleqslant s^* 時 Deltaleqslant0 ， f'(q) 非負意味著函數 f(q) 遞增

begin{align} f(q)&geqslant fleft(dfrac{s^2+1}{4}right)\&= 16left(dfrac{s^2+1}{4}right)^3-4(s^2+36s-108)left(dfrac{s^2+1}{4}right)^2\&+4(17s^3-54s^2+9s-54)left(dfrac{s^2+1}{4}right)-(s^2+1)(8s^3-27s^2-27)\ &=dfrac{(s^2+1)^2}{4}geqslant0 end{align}

②當 sqrt{3}leqslant sleqslant6 或者 sgeqslant s^* 時， f(q) 存在兩個極值點 q_{pm}=dfrac{s^2+36s-108pmsqrt{(s-6)(s^3-126s^2+972s-2052)}}{12}

極小值在 q_{+} 達到，結合三次函數的性質，我們知道在某個閉區間上的三次函數最小值隻能在端點處或者極小值處達到。

下面證明sqrt{3}leqslant sleqslant6 時q_{+}geqslantdfrac{s^2}{3} 或者sgeqslant s^*時q_{+}leqslantdfrac{s^2+1}{4}

case1 當sqrt{3}leqslant sleqslant6 時

q_{+}=dfrac{s^2+36s-108+sqrt{(s-6)(s^3-126s^2+972s-2052)}}{12}geqslantdfrac{s^2}{3}

Leftrightarrowsqrt{(s-6)(s^3-126s^2+972s-2052)}geqslant3(s-6)^2\ Leftrightarrow(s^3-126s^2+972s-2052)leqslant9(s-6)^3\ Leftrightarrow0leqslant4(s-3)^2(2s+3)

註意這裡兩邊約去 (s-6) 時不等號要變號。

case2 當sgeqslant s^*approx117.9時

q_{+}=dfrac{s^2+36s-108+sqrt{(s-6)(s^3-126s^2+972s-2052)}}{12}leqslantdfrac{s^2+1}{4}

Leftrightarrowsqrt{(s-6)(s^3-126s^2+972s-2052)}leqslant2s^2-36s+111\ Leftrightarrow s^3(s-4)+4s(s-9)+3geqslant3>0

綜上我們知道極小值點 q_{+} 沒有落在 q 的定義域 left[dfrac{s^2+1}{4},dfrac{s^2}{3}right] 內，所以 f(q) 的最小值隻能在端點處達到。

前面算過瞭 fleft(dfrac{s^2+1}{4}right)=dfrac{(s^2+1)^2}{4}geqslant0

計算 fleft(dfrac{s^2}{3}right)=dfrac{1}{27}(s-3)^4(2s+3)^2geqslant0

因此有 f(q)geqslant displaystylemin_{qinleft[frac{s^2+1}{4},frac{s^2}{3}right]}f(q)=min left{fleft(frac{s^2+1}{4}right),fleft(frac{s^2}{3}right)right}geqslant0

至此，不等式證完。

我們順帶找到瞭不等式的唯一取等條件 s=3,q=dfrac{s^2}{3}=3

而 s^2=3q 意味著 a=b=c=dfrac{s}{3}=1 時取等號。

再來一題吧，這道題應該比較有名。

例：證明對所有的非負實數 x,y,z 存在以下不等式

(xy+yz+zx)left[dfrac{1}{(x+y)^2}+dfrac{1}{(y+z)^2}+dfrac{1}{(z+x)^2}right]geqslantdfrac{9}{4}\ 證：作換元 s=x+y+z ， q=xy+yz+zx ， p=xyz

把上式進行改寫，即證

q(s^2-2q)s^2+4spq+q^3geqslantdfrac{9}{4}(sq-p)^2

關於 p 整理，即證

9p^2+(-34sq)p+(17s^2q^2-4qs^4-4q^3)leqslant0

這是關於 p 的二次式，判別式

begin{align} Delta_{p}&=(-34sq)^2-36(17s^2q^2-4s^4q-4q^3)\ &=16q(9q^2+34s^2q+9s^4)geqslant0 end{align}

利用求根公式，為此我們隻需要證明

color{red}{dfrac{17sq-2sqrt{q(9q^2+34s^2q+9s^4)}}{9}leqslant pleqslantdfrac{17sq+2sqrt{q(9q^2+34s^2q+9s^4)}}{9}}

終極不等式告訴我們

dfrac{9sq-2s^3-2left( s^2-3q right)^{frac{3}{2}}}{27}leqslant pleqslantdfrac{9sq-2s^3+2left( s^2-3q right)^{frac{3}{2}}}{27}

PART 1先證明右半邊，也就是證明

dfrac{9sq-2s^3+2left( s^2-3q right)^{frac{3}{2}}}{27}leqslantdfrac{17sq+2sqrt{q(9q^2+34s^2q+9s^4)}}{9}

Leftrightarrow(s^2-3q)^{frac{3}{2}}leqslant21sq+s^3+3[q(9q^2+34s^2q+9s^4)]^{frac{1}{2}} Leftrightarrow(s^2-3q)^3leqslant(21sq+s^3)^2+9q(9q^2+34s^2q+9s^4)+6(21sq+s^3)[q(9q^2+34s^2q+9s^4)]^{frac{1}{2}}

Leftrightarrow-132s^4q-720s^2q^2-108q^3leqslant6(21sq+s^3)[q(9q^2+34s^2q+9s^4)]^{frac{1}{2}}

左邊 leqslant0leqslant 右邊

PART 2下面證明左半邊

pgeqslantdfrac{17sq-2sqrt{q(9q^2+34s^2q+9s^4)}}{9}

分兩種情況討論

①當不等號右邊的式子為負的時候不等式是顯然成立的

這時候 dfrac{17sq-2sqrt{q(9q^2+34s^2q+9s^4)}}{9}leqslant0

整理得到 36q^2-153s^2q+36s^4geqslant0

解不等式得到 qleqslantdfrac{s^2}{4} 或者 qgeqslant4s^2

但是由於我們知道 qleqslantdfrac{s^2}{3}，因此我們在 qleqslantdfrac{s^2}{4} 的情況下證明瞭不等式

②我們現在假設 dfrac{s^2}{4}leqslant qleqslantdfrac{s^2}{3} ，我們隻要證明

pgeqslantdfrac{9sq-2s^3-2left( s^2-3q right)^{frac{3}{2}}}{27}geqslantdfrac{17sq-2sqrt{q(9q^2+34s^2q+9s^4)}}{9}

等價於證明

3[q(9q^2+34s^2q+9s^4)]^{frac{1}{2}}geqslant21sq+s^3+(s^2-3q)^{frac{3}{2}}

Leftrightarrow9q(9q^2+34s^2q+9s^4)geqslant(21sq+s^3)^2+(s^2-3q)^{3}+2(21sq+s^3)(s^2-3q)^{frac{3}{2}}

Leftrightarrow(3q-s^2)(18q^2-21qs^2+s^4)geqslant(21sq+s^3)(s^2-3q)^{frac{3}{2}}

約去 left( s^2-3q right)

Leftrightarrow -(18q^2-21qs^2+s^4)geqslant(21sq+s^3)(s^2-3q)^{frac{1}{2}}

（註：左邊 -(18q^2-21qs^2+s^4)geqslant0 是因為 dfrac{s^2}{4}leqslant qleqslantdfrac{s^2}{3} ）

Leftrightarrow(18q^2-21qs^2+s^4)^2geqslant(21sq+s^3)^2(s^2-3q)

Leftrightarrow81q(4q-s^2)(q+s^2)^2geqslant0

證畢。

例：(2014年全國高聯加試A卷)

設實數 a,b,c 滿足 a+b+c=1 , abc>0 ，求證：

ab+bc+ca<dfrac{sqrt{abc}}{2}+dfrac{1}{4}\

證：（註意這道題裡變量是可以取負的，但是終極不等式沒有使用限制。）

等價於證明 s=1,p>0 條件下q<dfrac{sqrt{p}}{2}+dfrac{1}{4}\當 qleqslantdfrac{1}{4} 時不等式是平凡的，我們不妨證明 qgeqslant dfrac{1}{4} 時不等式成立，同時還有 qleqslantdfrac{s^2}{3}=dfrac{1}{3}

等價於證明 p>4q^2-2q+dfrac{1}{4}\

由終極 pgeqslantdfrac{1}{27}left( 9sq-2s^3-2left( s^2-3q right)^{frac{3}{2}} right)\代入條件 s=1

隻要證明 dfrac{1}{27}left( 9q-2-2left( 1-3q right)^{frac{3}{2}} right)>4q^2-2q+dfrac{1}{4}\ 整理該不等式 Leftrightarrow8sqrt{(1-3q)^3}<-(432q^2-252q+35)\ 在條件 dfrac{1}{4}leqslant qleqslantdfrac{1}{3} 下不難驗證 432q^2-252q+35<0

因此隻需要證明 64(1-3q)^3<(432q^2-252q+35)^2\ Leftrightarrow1728q^3-1568q^2+460q-43>0

取 f(q):=1728q^3-1568q^2+460q-43

f'(q)=5184q^2-3136q+460=4(4q-1)(324q-115)

註意到 dfrac{1}{4}leqslant qleqslantdfrac{1}{3}<dfrac{115}{324}

那麼 f'(q)<0 也就是 f(q) 遞減

f(q)geqslant fleft(dfrac{1}{3}right)=dfrac{1}{9}>0

至此不等式證完。

點評：如果使用終極不等式那麼永遠不會放縮過頭

實際上，終極不等式和以下不等式等價

(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2geqslant0

但是通過以上證明我們也發現瞭，終極不等式的運算量非常巨大，所以做題慎用。

如果有興趣，可以嘗試使用終極不等式去證明一些平時常用的不等式

比如均值不等式、柯西不等式的三元形式

包括舒爾不等式：對於 x,y,zgeqslant0,r>0成立 displaystylesum_{cyc}{x^r(x-y)(x-z)}geqslant0

（可以取 r=1，2 的情形來證明）

證明過程還是比較簡單的，值得嘗試。