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下面是正文:
三角函數是高中數學的重點和難點
三角函數有很多性質和計算,本身會以非常復雜的形式出現,也會與其他類型的基本函數混合出現,在數列中也可能遇到三角函數有關的數列,此外它在圓錐曲線中是非常重要的解題工具。
因此,三角函數作為基本函數類型,需要對它的概念、性質有非常深刻的瞭解,對常用的變換和數值計算也要熟練掌握。
弧度
過去我們習慣於用角度表示角的大小,事實上更加通用的是弧度。
先來看角度是怎麼來的:把圓周分為360等分,每一等分叫作1°
細細想來,我們的角度和長度是兩套體系,沒法放在一起計算,比如5+10°就毫無意義
現在我們引入新的描述角大小的體系:弧度
π
同學們對π應該都還算熟悉,π是無理數,π的值約為3.1415926……
π的含義為圓的周長與直徑的比值
我們令某圓的半徑為r,那麼它的直徑d=2r,周長C=πd=2πr
對於單位圓,也就是半徑為1的圓,它的直徑d=2,周長C=2π
規定:單位圓每單位長度的弧所對應的角的大小為1弧度,記作1rad
弧度的單位:rad
弧度的單位rad其實是個並沒有單獨現實意義的單位,它代表這個大小的角度,在單位圓中對應的弧長
比如某個圓的半徑為r,對於大小為a rad的角,它對應的弧長為r*a
角度與弧度
來比較下角度和弧度兩套系統
單位 單位值 全圓周大小 一些常用數值
角度 ° 1° 360 0 30 45 60 90 180
弧度 rad 1rad 2π 0 π/6 π/4 π/3 π/2 π
根據全圓周大小可以看出:
360°等同於2π rad,也就是1°等同於π/180rad,或者1rad等同於180/π °
得到換算公式:
a rad= [(180/π)*a]°
b°=[(π/180)*b]rad
例一
舉個具體例子會更加直觀:
假設圓A的半徑為5厘米,那麼弧度為π/6(也就是30°)大小的角,它對應的弧長為:
5厘米*(π/6)rad=(5π)/6 厘米
比較等式兩邊的單位,可以看出,這個rad=厘米/厘米,也就是說它沒有現實中的物理意義,它就代表著“半徑為r厘米的圓上,長度為r厘米的弧對應的角的大小”
例二
再來看一個很有說服力,也很極端的例子:
假設圓B的半徑為1米,那麼弧度為2π(也就是360°)的角,它對應的弧長是多少?
很簡單:1米*2π=2π米,也就是我們圓周長
這也符合π的定義:圓周長(2π米)與直徑(2米)的比值。
其他
用弧度的最大好處就在於它不像角度那樣引入瞭新的單位,它可以直接和半徑進行弧長相運算。
弧度的基本概念就介紹到這裡,必須要對角度和弧度的互換一定要很熟練,對常用弧度的三角函數也要非常熟悉
基本三角函數
先來看直角三角形ABC,其中C是直角,∠ACB=π/2
根據勾股定理(畢達哥拉斯定理)有: BC^{2}+AC^{2}=AB^{2}
對於∠BAC,假設它的大小為θ,我們規定
(1)它的對邊BC與斜邊AB的比叫作正弦,用函數sin表示,sinθ=BC/AB
(2)它的鄰邊AC與斜邊AB的比叫作餘弦,用函數cos表示,cosθ=AC/AB
(3)它的對邊BC與鄰邊AC的比叫作正切,用函數tan表示,tanθ=BC/AC
(4)它的鄰邊AC與對邊BC的比叫作餘切,用函數cot表示,cotθ=AC/BC
(5)它的斜邊AB與鄰邊AC的比叫作正割,用函數sec表示,secθ=AB/AC
(6)它的斜邊AB與對邊BC的比叫作餘割,用函數csc表示,cscθ=AB/BC
根據以上定義,很容易得出三角函數間的基本關系:
(1)sin^{2}θ+cos^{2}θ=1
證明:sin^{2}θ+cos^{2}θ=(BC/AB)^{2}+(AC/AB)^{2}=[BC^{2}+AC^{2}]/AB^{2}=1(根據勾股定理)
(2) tanθ=sinθ/cosθ
證明: sinθ/cosθ=(BC/AB)/(AC/AB)=BC/AC=tanθ
(3)cot=cosθ/sinθ
證明與(2)類似
(4) cotθ=1/tanθ ,cscθ=1/sinθ, secθ=1/cosθ
根據它們的定義即得證
註意:正割與餘弦互為倒數,餘割與正弦互為倒數,千萬不要弄反!
上面的定義和基本關系可以看出:
(1)隻要知道瞭正弦sin和餘弦cos的值,其他三角函數都可以通過它們相除、取倒數獲得。
(2)正弦與餘弦有平方和為1這個數量關系。
以上兩點使得正弦和餘弦使用的機會比其他的三角函數要多許多,為瞭計算方便,大多數情況下使用的都是正弦和餘弦函數,因此對它兩要特別熟悉。此外,正切tan在未來會學的二倍角公式中非常有用。
其他的三角函數適當掌握即可。有條件的話熟練掌握其他3種三角函數(餘切、正割、餘割)在應對少數題目時會較為方便。如果時間精力有限可以跳過。
直角坐標系中的角與三角函數
來看這個二維坐標系,這個圓的半徑為1,圓心O在原點(0,0),我們叫它單位圓
取圓上一點A,向x軸引垂線交於B(b,0),向y軸引垂線交於C(0,c),則A坐標(b,c)
我們來看∠θ,從直角三角形OAB中可以看出:
sinθ=AB/OA=c/1=c,cosθ=OB/OA=b/1=b,tanθ=AB/OB=c/b
在這樣的單位圓中,我們規定起始位置為x軸正方向,它的角大小為0rad,逆時針方向旋轉為正,順時針方向旋轉為負
第一次轉到y軸正方向剛好經歷一個直角,它是π/2
第一次轉到x軸負方向剛好經歷一個平角,它是π
第一次轉到y軸負方向剛好經歷一個平角+一個直角,它是3π/2
第一次轉回到x軸正方向剛好經歷一個圓周,它是2π
繼續轉下去就是2π+θ
當順時針轉時:
第一次轉到y軸負方向剛好經歷一個直角,由於方向是負的,它是-π/2
第一次轉到x軸負方向剛好經歷一個平角,由於方向是負的,它是-π
第一次轉到y軸正方剛好經歷一個平角+一個直角,由於方向是負的,它是-3π/2
第一次轉回到x軸正方向剛好經歷一個圓周,由於方向是負的,它是-2π
繼續轉下去就是-2π-θ(θ>0)
(0,π/2)
在單位圓裡,取x軸正方向上的半徑為起始,規定它為0rad,讓它繞著圓心逆時針旋轉(箭頭方向)π/2,到達y軸正方向
(0,π/2)范圍內,半徑都落在第一象限內。
它在旋轉過程中依次經過紅色、藍色、綠色3個位置
從這3條半徑在圓上的端點分別向x軸、y軸引垂線
可以看出,它們的正弦(縱坐標)、餘弦值(橫坐標)都是正的。
此時它們的正切值(正弦值比餘弦值)也都是正的。
隨著角度的增大,
正弦值逐漸增大(0→1)
餘弦值逐漸減小(1→0)
正切值逐漸增大(0→無限大)。
(π/2,π)
繼續旋轉,從y軸正方向((0,1))繼續旋轉π/2,到x軸負方向,此時共旋轉π rad
該半徑依次經過粉色、淺藍、淺綠三個位置。
(π/2,π)范圍內,半徑都落在第二象限內。
從這三條線向x軸、y軸分別引垂線可以看到:
它們的正弦值(縱坐標)是正的,餘弦值(橫坐標)是負的。
此時它們的正切值(正弦值比餘弦值)也是負的。
隨著角度的增大
正弦值逐漸減小(1→0),
餘弦的絕對值逐漸增大,由於是負的,數值逐漸減小(0→-1),
正切的絕對值逐漸減小,由於是負的,數值逐漸增大(負無窮大→0)
(π,3π/2)與(3π/2,2π)
繼續旋轉半徑(增大角度)直到3/4圓周(y周負方向),在(π,3π/2)范圍內,半徑都落在第三象限;以及再接著旋轉半徑到完整圓周(x周正方向),在(3π/2,2π)范圍內,半徑都落在第四象限。
請自行分析以上兩種情況下,各三角函數的正負、單調性、取值范圍。
>2π和<0的角
當旋轉一周時,半徑又回到最初的起點,當繼續增加角的大小,比如增加到(2+1/2)π時,它又開始重復最初的循環。因而,任何相差2π的整數倍的角的三角函數是相同的,無論轉過多少圈都是如此。
當順時針旋轉時,半徑先進入第四象限,然後是第二、第三、第一,然後進入下一個循環。
可以發現,當x向負方向旋轉瞭θ角時,它與旋轉瞭(2π-θ)角處在相同的位置,它們具有相同的三角函數。
綜上:sin(x+2nπ)=sinx
sin(2π-x)=-sinx
對cos、tan、cot、sec、csc同樣適用。
互為相反數、和/差分別為π/2、π、2π的角的三角函數關系
剛剛,已經討論瞭和為2π(x與2π-x)、差為2π(x與2π+x)的角的三角函數,它們是相同的,現在來看其他情況
(1)互為相反數
從圖中很容易看出,θ與-θ的值相同,隻是一個順時針旋轉另一個逆時針旋轉(或反過來),因此二者是關於x軸對稱的,所以它們的橫坐標(cos)相等,縱坐標(sin)互為相反數
於是有:
sin(-θ)=-sinθ
cos(-θ)=cosθ
並可推出:tan(-θ)=-tanθ
(2)和為π/2
初中數學已經學過,和為π/2的兩個角,它們的正弦等於對方的餘弦,餘弦等於對方的正弦,正切等於對方的餘切,餘切等於對方的正切。隨便畫個直角三角形從定義出發就可以得證。
(3)差為π/2
如上圖所示OA旋轉π/2後到達OB,方便起見,我們記∠X1OA=θ,則有:
∠AOB=π/2,∠X1OB=∠X1OA+π/2=θ+π/2
可以看出,∠AOD=π/2-θ
因此:∠DOB=θ
現在我們把整個圖向右旋轉π/2,可以看出,B回到瞭A的位置
這很好理解,本來A就是轉瞭+π/2到達B,現在B和坐標軸都轉瞭-π/2,B自然回到A的位置,隻不過x軸和y軸的橫豎換瞭過來
從上圖很容易看出,單純看絕對值的話:
B向y軸(橫著的)引垂線,與原來的A向x軸(橫著的)引垂線的高度是相同的
B向x軸(豎著的)引垂線,與原來的A向y軸(豎著的)引垂線的高度是相同的
也就是:|sinX1OB|=|cosX1OA|,|cosX1OB|=|sinX1OA|
再回到原來的圖,B在第二象限,所以sinX1OB=cosX1OA>0,而cosX1OB=-sinX1OA<0
由於θ+π/2相當於逆時針旋轉一個直角,因此當A在第二象限時,θ+π/2必然落在第三象限;當A在第三象限時,θ+π/2必然落在第四象限;當A在第四象限時,θ+π/2必然落在第一象限。
對於以上三種情況,請自行作圖、旋轉觀察它們的絕對值大小和正負號變化。
根據以上四次操作,可以得到:
sin(θ+π/2)=cosθ
cos(θ+π/2)=-sinθ
並可推出:tan(θ+π/2)=-cotθ
直觀理解:
為瞭更加直觀形象,可以這樣理解記憶。
請先自行想象(想象不出就隨便畫個)直角坐標系和單位圓,並隨便畫個第一象限角
它要是比π/4小就認為它“躺著”,要是比π/4大就叫認為它“站著”
增加π/2後,原本“躺在”第一象限的角變成“站在”第二象限的角,原本“站在”第一象限的角變成“躺在”第二象限的角,因而它們的sin和cos的絕對值是互換的。
從第一象限進入第二象限,縱坐標(sin)都是正的,因而sin(θ+π/2)也是正的,cos變sin不變號;橫坐標(cos)從正的變成瞭負的,因而cos(θ+π/2)變成負的,sin變cos要變號。
隻要記住瞭第一象限角+π/2變成第二象限角,寫出公式就可以瞭,它對所有角都適用。
(4)和為π
如圖,∠X1OA=θ,∠X1OB=π-θ
很容易得出:∠X2OB=θ,
所以OA和OB是關於y軸鏡面對稱的
因此有:|sin(π-θ)|=|sinθ|,|cos(π-θ)|=|cosθ|
再來看符號:在第一和第二象限的縱坐標都是正的;第一象限的橫坐標是正的,第二象限的橫坐標是負的
因此有:sin(π-θ)=sinθ,cos(π-θ)=-cosθ
對於A是第二、三、四象限角的情況請自行畫圖討論,會發現與第一象限相同,因此對於任意角都有:
sin(π-θ)=sinθ
cos(π-θ)=-cosθ
並可得出:tan(π-θ)=-tanθ
直觀理解:
這種情況下的推導過程非常直觀,也很容易理解和記憶,θ與π-θ必然是關於y軸對稱的,因而它們的縱坐標相等,橫坐標互為正負。
現在來證明下為什麼必然關於y軸對稱:
若第一象限:0<θ<π/2,則如前所述。
若第二象限:π/2<θ<π,則仍如前所述,隻不過A和B角色互換。
若第三項先:π<θ<π3/2,則-π/2<π-θ<0(順時針倒著轉,第四象限),二者都在x軸下方關於y軸對稱
若第四象限:π3/2<θ<2π,則-π<π-θ<-π/2(順時針倒著轉,第三象限),二者都在x軸下方關於y軸對稱,A和B與上個情況中的角色互換。
(5)差為π
這個就太直觀瞭
可以看出來,當θ變成π+θ後,相當於做瞭關於原點的中心對稱變化,它的橫坐標、縱坐標都變為原來的相反數,絕對值不變,符號變。
因此:sin(θ+π)=-sinθ
cos(θ+π)=-cosθ
並可以推出:tan(θ+π)=tanθ (負負得正)
小節
對於互為相反數,以及和或差等於π/2、π、2π的角的三角函數之間的關系,必須要非常非常熟練,這是三角函數題目中非常基礎的應用。
鑒於死記硬背有困難並可能記錯,可以借鑒“直觀理解”部分提供的方法,簡單畫個草圖,利用草圖直接寫下相關關系。
在畫圖的過程中為避免看錯,隨意選取的角盡量遠離π/4,適當貼近坐標軸會更直觀明白。
由於以上公式對任意角都成立,因而畫上最熟悉的情形(通常是銳角)進行推斷即可。
此外,對於所有和或差為nπ/2(n為正數)的角之間的關系,都要認真一步一步轉化為以上形式再做判斷,盡量不要跳躍。
比如:sin(θ+7π/2)
=sin(θ+7π/2-2π) 依據:sin(θ+2nπ)=sinθ
=sin(θ+3π/2)
=-sin(θ+π/2) 依據:sin(θ+π)=-sinθ
=-cosθ 依據:sin(θ+π/2)=cosθ
和與差的三角函數關系
(1)cos(A-B)
我們有從x軸正方向逆時針旋轉到OB的角∠X1OB為∠B,從x軸正方向逆時針旋轉到OA的角∠X1OA為∠A,則∠BOA=∠A-∠B
於是我們有B(cosB,sinB),A(cosA,sinA)
於是 AB^{2}=(cosB-cosA)^{2}+(sinB-sinA)^{2}
=cos^{2}B-2cosBcosA+cos^{2}A+sin^{2}B-2sinBsinA+sin^{2}A
=2-2(cosBcosA+sinBsinA)
現在把∠BOA順時針旋轉∠B,讓OB和x軸重合,如下圖所示
我們得到B(1,0),A(cos(A-B,sin(A-B))
於是有: AB^{2}=(cos(A-B)-1)^{2}+(sin(A-B)-0)^{2}
=cos^{2}(A-B)-2cos(A-B)+1+sin^{2}(A-B)
=2-2cos(A-B)
由於做旋轉變換後,AB的長度不變,所以有:
2-2(cosBcosA+sinBsinA)=2-2cos(A-B)
於是有:
cos(A-B)=cosBcosA+sinBsinA
(2)cos(A+B)
將上式用-B替換B得到:
cos(A+B)=cosBcosA-sinBsinA
(3)sin(A+B)
利用sinθ=cos(π/2-θ):
sin(A+B)=cos[π/2-(A+B)]
=cos[(π/2-A)-B]
=cos(π/2-A)cosB+sin(π/2-A)sinB
=sinAcosB+cosAsinB
(4)sin(A-B)
將上式用-B替代B得到:
sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB
(5)tan(A+B)
tan(A+B)=sin(A+B)/cos(A+B)
=(sinAcosB+cosAsinB)/(cosAcosB-sinAsinB) 分號上下同時除以cosAcosB
=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
(6)tan(A-B)
將上式用-B替代B得到:
tan(A-B))=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
二倍角公式
將以上和的公式中的B換為A就得到瞭二倍角公式:
sin(2A)=2sinAcosA
cos(2A)=cos^{2}A-sin^{2}A
tan(2A)=2tanA/(1-tan^{2}A)
此外,利用 cos^{2}A+sin^{2}A=1 和 cos(2A)=cos^{2}A-sin^{2}A
還可以得到: cos(2A)=2cos^{2}A-1
cos(2A)=1-2sin^{2}A
這兩個公式的優勢在於隻有一個未知項cosA或sinA
半角公式
根據 cos(2A)=2cos^{2}A-1和 cos(2A)=1-2sin^{2}A
把2A看作一個角(B),則A是它的一半(B/2),我們可以推出半角公式:
sin(B/2)=pmsqrt{(1-cosB)/2}
cos(B/2)=pmsqrt{(1+cosB)/2}
進而推出 tan(B/2)=pmsqrt{(1-cosB)/(1+cosB)}
這裡的正負號需要根據實際情況確定
此外
由於 tan(B/2)=sin(B/2)/cos(B/2)
=[sin(B/2)*2sin(B/2)]/[cos(B/2)*2sin(B/2)] 上下同時乘以2sin(B/2)
=(1-cosB)/sinB
如果上下同時乘以2cos(B/2)就可以得到:
tan(B/2)=sinB/(1+cosB)
以上兩個公式的優勢在於免去瞭正負號的不確定
萬能置換公式
利用sin和cos的二倍角公式,可以得到:
sinA=2sin(A/2)cos(A/2)
=2sin(A/2)cos(A/2)/[sin^{2}(A/2)+cos^{2}(A/2)] 利用 sin^{2}(A/2)+cos^{2}(A/2)=1
=2tan(A/2)/[1+tan^{2}(A/2)] 上下同時除以 cos^{2}(A/2)
同樣的方法可以得到: cosA=[1-tan^{2}(A/2)]/[1+tan^{2}(A/2)]
二者相除可以得到: tanA=2tan(A/2)/[1-tan^{2}(A/2)]
以上三個公式的優勢在於變形後的式子裡隻有一個未知項tan(A/2)
sinA=2tan(A/2)/[1+tan^{2}(A/2)]
cosA=[1-tan^{2}(A/2)]/[1+tan^{2}(A/2)]
tanA=2tan(A/2)/[1-tan^{2}(A/2)]
以上3個也叫作萬能置換公式
積化和差 和 和差化積公式
把A和B分別用(α+β)/2和(α-β)/2替換,用和角公式和差角公式很容易求出:
積化和差公式:
sinalpha*sinbeta=(1/2)[cos(alpha-beta)-cos(alpha+beta)]
cosalpha*cosbeta=(1/2)[cos(alpha+beta)+cos(alpha-beta)]
sinalpha*cosbeta=(1/2)[sin(alpha+beta)+sin(alpha-beta)]
和差化積公式:
sinalpha+sinbeta=2sin[(alpha+beta)/2]*cos[(alpha-beta)/2]
sinalpha-sinbeta=2cos[(alpha+beta)/2]*sin[(alpha-beta)/2]
cosalpha+cosbeta=2cos[(alpha+beta)/2]*cos[(alpha-beta)/2]
cosalpha-cosbeta=-2sin[(alpha+beta)/2]*sin[(alpha-beta)/2]
此外
對於形如:asinx+bcosx 的式子,利用兩角和的正弦公式可以轉化為
sqrt{a^{2}+b^{2}}*sin(x+t)
這裡 sint=b/sqrt{a^{2}+b^{2}} , cost=a/sqrt{a^{2}+b^{2}}
此處相當於把a和b看作一個直角三角形的兩條直角邊,因此其斜邊為 sqrt{a^{2}+b^{2}}
其中某個角的sin和cos值就是a或b除以 sqrt{a^{2}+b^{2}}
利用兩角和餘弦公式也可以將其轉化為:
sqrt{a^{2}+b^{2}}*cos(x-q)
這裡sinq 和 cosq 的取值請自行推導
正弦定理和餘弦定理
最後要瞭解兩個定理,這兩個定理和三角函數的直接關聯並不是很大,但在解三角形、非向量的平面幾何中經常用到:
正弦定理
對於△ABC,設∠A、∠B、∠C對應的邊長分別為a、b、c,則有:
sinA/a=sinB/b=sinC/c 或者a/sinA=b/sinB=c/sinC
這條定理非常容易證明,隻要從每個頂點向對邊引垂線,然後用面積公式:
S△ABC=(a*b*sinC)/2=(b*c*sinA)/2=(a*c*sinB)/2
然後等式三部分分別除以a*b*c即可
對於銳角三角形,sinx隨著x增大而增大,該定理與“大邊對大角、小邊對小角”也相一致
餘弦定理
在x軸上任意取點B,空間內任取點C,並連接OB、OC,過C做x軸的垂線垂足為A
對於△OCB,設∠O、∠B、∠C的對邊分別為o、b、c
利用勾股定理可得:
BC^{2}=AC^{2}+AB^{2}
o^{2}=(bcos(π-O)+c)^{2}+(bsin(π-O))^{2}
化簡後得: o^{2}=b^{2}-2bctimes cosO+c^{2}
用A替換O、a替換o得到餘弦定理:
cosA=(b^{2}+c^{2}-a^{2})/(2bc)
cosB=(a^{2}+c^{2}-b^{2})/(2ac)
cosC=(a^{2}+b^{2}-c^{2})/(2ab)
以上3個式子是對稱的,仔細觀察它們的對稱性對記憶很有幫助
解三角形
解三角形就是知道三角形的幾個元素後求其他的元素,主要利用的就是正弦定理和餘弦定理
這裡先回顧初中學習的全等三角形
所謂全等三角形,就是經過旋轉、翻轉、平移後,兩個能完全重合的三角形
全等三角形的判別方式有:
邊邊邊、邊角邊、角邊角、角角邊,斜邊直角邊
可以這麼理解:若兩個三角形全等,那麼他們就是同一個三角形,隻不過出現在不同的位置而已
因此全等三角形的判定條件,也是確定唯一三角形的條件
也就是說隻要知道瞭邊邊邊、邊角邊、角邊角、角角邊,斜邊直角邊中的任一種情形,這個三角形就是唯一確定的!
現在來逐個看下:
(1)邊邊邊
根據餘弦定理,知道瞭3邊的長,每個邊的對角也都可以計算得出,因而該三角形唯一
(2)邊角邊
根據餘弦定理,知道瞭夾角和它的兩夾邊,那麼已知角的對邊可以唯一確定,再根據餘弦定理可以計算得出其他兩個邊的對角
(3)角邊角
根據三角形的內角和為π,可以求出夾邊的對角,再根據正弦定理,計算出兩個已知角的對邊
(4)角角邊
根據三角形的內角和為π,可以求出未知的角,再根據正弦定理,計算出其他2個未知的邊
(5)斜邊直角邊
知道瞭斜邊直角邊,根據sin或cos的定義,兩個銳角都可以確定,第三條直角邊也很容易確定
同樣是三個條件,為什麼角角角、邊邊角就不能唯一確定三角形呢?
(1)角角角
我們知道,三個角相等,邊長不同的三角形是相似三角形,它們相應的邊具有相同的比例關系,可以看做是同一個三角形的三條邊等比例放大或縮小,它的三個角大小不變。
(2)邊邊角
我們假設已知邊a、b,和a的對角A(黑色)
那麼根據正弦定理我們有a/sinA=b/sinB,可以求出sinB
那麼問題來瞭,B究竟是銳角還是鈍角呢?
因此無法唯一確定三角形
如下圖,黑的的a、b、A是已知的,紅色的c、B、C不是唯一的
將已確定邊a沿著未確定c向外旋轉,延長未確定邊c於a的另一邊連接即可
可以看出,這兩個三角形的邊a、b和角A是相同的
事實上,這兩個圖形裡的∠B互補
值得註意的是,在求三角形的未知角時,盡量使用餘弦定理而不是正弦定理,因為一個角和它的補角的正弦值相同,有的情況下無法確定它是銳角還是鈍角。
總結
三角函數的基礎知識非常的多且繁瑣,這章還不是全部。
這些基礎知識必須非常熟練地掌握,要像加減乘除指數對數的運算法則那麼熟練才可以,需要非常大量的基礎訓練來提高熟練度,增強對各種變換敏感性。
要對通過單位圓中半徑不斷的旋轉,造成各三角函數在數值和符號上的變化的過程和結果非常熟悉,這是掌握三角函數的最最基礎。
要把使用習慣從角度°變為弧度rad,並牢記特定值的三角函數。
最後再強調遍,本篇是三角函數基礎的基礎,需要大量訓練,理解、記憶!
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