我們已經規定瞭向量的線性運算。現在我們要討論一個問題：我們有沒有必要去規定一種運算，讓兩個向量“乘”起來？

【例1】一個小滑塊在水平面上，至少受到一個大小方向都固定不變的力 bm F ，並且在一段時間內做瞭一段直線運動，位移是 bm x 。力與位移的夾角是 theta 。求 bm F 在這個過程中做的功 W 。

例1的示意圖

這裡需要事先補充兩個概念：

【向量的夾角】設有兩個向量 bm a,bm b 。從一點出發分別做兩條射線與這兩個向量分別平行，射線的指向分別與兩個向量的方向相同，所形成的角就是這兩個向量的夾角，記作 left<bm a,bm bright> 。這裡我們規定 left<bm a,bm bright> in [0,pi] （也就是不采用任意角），並且，雖然看起來像是一句廢話，但我們還是指出， left<bm a,bm bright>=left<bm b,bm aright> 。（實際上，這就是一個“求兩個向量的夾角”的運算）

【投影】已知平面內的一個幾何對象與一條直線 l 。我們從這個幾何對象上的某一個點出發，分別作直線 l 的垂線，這樣這個點就變換成瞭對應的垂足。這樣我們對幾何對象上的每一個點都這麼操作，就把這個幾何對象變換到瞭直線 l 上。這樣的變換稱為在直線 l 上“投影”。

平面上的點、線段、向量在直線上的投影。特別地，向量在直線上的投影稱為“投影向量”

如果力與位移是共線的，那麼問題就很簡單，把兩個向量的模乘起來就可以瞭。現在兩個向量並不共線，不能直接這麼做；但符合直覺的是，我們總歸得用某種類似乘法的方式來處理這兩個向量。

我們可以把這個力拆分成兩個力（不妨分別記為 bm F_x,bm F_y ）的和，其中 bm F_x 與位移 bm x 共線， bm F_y 與 bm x 正交。這裡 bm F_x 就是 bm F 在 bm x 所在直線上的投影向量。

這種分解向量的方式方式稱為“正交分解”

這樣，我們可以清楚地看到，水平方向上的分力 bm F_x 對滑塊的位移“作出貢獻”，做瞭值為 |bm F_x|cdot|bm x| 的正功；豎直方向上的分力 bm F_y 對滑塊的位移則毫無聯系——滑塊在豎直方向上的位移是 bm 0 。因此：

W=|bm F_x|cdot|bm x|=(|bm F|cdotcos theta)cdot|bm x|

又或者，我們可以反過來，把位移 bm x 分解成兩個“分位移”（不妨分別記為 bm x_a,bm x_b ）的和，其中 bm x_a 與 bm F 共線（即 bm F 所在直線上的投影向量）， bm x_b 與 bm F 正交。

對另一個向量正交分解

這樣，我們可以認為， bm F 完全參與瞭 bm x_a 這段位移，但完全沒有參與 bm x_b 這段位移。因此：

W=|bm F|cdot|bm x_a|=|bm F|cdot(|bm x|cdot cos theta)

不管是那種思路，我們要的都是夾角的餘弦值，所以計算結果是一樣的。

這個例子告訴我們，我們似乎可以通過“提取兩個向量共線的部分再乘起來”的方式來讓兩個向量“相乘”。但這樣的“乘法”畢竟不同於通常意義上的乘法，數學傢另起瞭一個名字。

【數量積】設有兩個向量 bm a,bm b 。我們定義它們的“數量積”，記作“ bm acdot bm b ”，讀作“向量a點乘向量b”，等於這兩個向量的模長的積，再乘以它們夾角的餘弦值，即

bm acdot bm b=|bm a||bm b|cosleft<bm a,bm bright>

數量積運算的結果是一個數量。數量積又叫作“內積”或者“點積”，物理中也叫“標積”或“標量積”。因為點乘符號“ cdot ”不是數量之間的乘法符號，所以這裡不能省略這個符號。

借助投影的概念，兩個向量的數量積，就是一個向量在另一個向量所在直線的投影向量的模，與這另一個向量的模的乘積。

結合定義與前面的例子，不難發現，數量積運算具有下面的性質：

【數量積的性質】設 bm a,bm b,bm c 是三個向量， bm e 是單位向量，lambda in bold{R} ：

• （交換律）我們有 bm a cdot bm b=bm bcdot bm a ；
• 我們有 bm acdot bm 0=bm 0cdot bm a=0 ；
• 我們有 bm a cdot bm e=bm ecdot bm a=|bm a|cosleft<bm a,bm eright>
• （與數乘的結合律）我們有 (lambda bm a)cdot bm b=bm acdot(lambda bm b)=lambda(bm acdot bm b) ，但一般沒有 (bm a cdot bm b)cdot bm c=bm a cdot (bm bcdot bm c) ；
• （分配律）我們有 (bm a+bm b)cdot bm c=bm ccdot (bm a+bm b)=bm acdot bm c+bm bcdot bm c ；
• （向量平行的判定） 我們有(bm a cdot bm b=|bm a||bm b|)Leftrightarrow(left<bm a,bm bright>=0) ，即兩個向量方向相同，並且 (bm a cdot bm b=-|bm a||bm b|)Leftrightarrow(left<bm a,bm bright>=pi) ，即兩個方向方向相反。總之， (bm a cdot bm b=pm|bm a||bm b|)Leftrightarrow(bm a /kern -0.8em / bm b) 。特別地，我們也把 bm acdot bm a記作 bm a^2 ， bm a^2=bm acdotbm a=|bm a|^2 。
• （向量垂直的判定）我們有 (bm a cdot bm b=0)Leftrightarrow(left<bm a,bm bright>=dfrac pi 2) ;（此時我們說這兩個向量互相垂直，記作 bm aperpbm b )
• 我們有 (bm a cdot bm b>0)Leftrightarrow(left<bm a,bm bright>in [0,dfrac pi 2)) ，並且有 (bm a cdot bm b<0)Leftrightarrow(left<bm a,bm bright>in (dfrac pi 2, pi]) ，但無論如何都有 |bm acdot bm b|leqslant|bm a||bm b| 。

這裡僅對向量的分配律作幾何解釋：如下圖所示，記 overrightarrow{AB}=bm a,overrightarrow{AC}=bm b,overrightarrow{CD}=bm c ，這樣就有 overrightarrow{AD}=overrightarrow{AC}+overrightarrow{CD}=bm b+bm c 。現在作 bm b,bm c 在 bm a 所在直線上的投影向量 bm b',bm c' 。顯然 bm b'+bm c' 所得的向量就是 overrightarrow{AD} 在這條直線上的投影向量，這就保證瞭分配律成立。

數量積分配律的示意圖

我們現在回到最初的直覺：“將兩個向量共線的部分乘起來”。現在看來，數量積的定義符合把這兩個向量中的一個所在的直線當成基準直線的情形。現在的問題是：我們能不能找一條別的直線，去找這兩個向量跟這條直線共線的部分乘起來，並滿足數量積的定義呢？

如下圖所示，已知 overrightarrow{OA}=bm a,overrightarrow{OB}=bm b 。我們現在要找它們跟直線 l 共線的部分。這並不難找，隻要作投影向量就可以瞭。但是有一點——光是找直線 l 上的公共部分是不夠的，這兩個向量除瞭 l 之外，還在另一條直線上有“共線的部分”，這條直線就是與 l 垂直的 m 。

如果我們去找兩個向量在第三條直線上的“共線部分”，那麼它們就一定還在第四條直線上有“共線部分”

我們設 bm a 在 l 上的投影向量為 bm a_i ，在 m 上的投影向量為 bm a_j ，並類似地設 bm b 的兩個投影向量 bm b_i,bm b_j 。這樣， bm a_i,bm b_i 共線， bm a_j,bm b_j 共線，我們有理由認為 bm acdot bm b 就等於這兩組共線向量的數量積之和，即

bm acdot bm b=bm a_icdot bm b_i+bm a_jcdot bm b_j 。

事實上， bm acdot bm b=(bm a_i+bm a_j)cdot(bm b_i+ bm b_j) ，根據分配律，

(bm a_i+bm a_j)cdot(bm b_i+ bm b_j)=bm a_icdot bm b_i+bm a_icdot bm b_j+bm a_jcdot bm b_i+bm a_jcdot bm b_j 。

而 bm a_iperp bm b_j,bm a_jperp bm b_i ，這導致上式中間兩項均為零，所以最終我們得到 bm acdot bm b=bm a_icdot bm b_i+bm a_jcdot bm b_j 。

我們現在規定這兩條互相垂直的直線上分別各有一個單位向量 bm i,bm j 。這樣就存在唯一的一組實數 a_x,a_y,b_x,b_y 使得 bm a=a_xbm i+a_ybm j,bm b=b_xbm i+b_ybm j ，於是就有

bm acdot bm b=a_xb_x+a_yb_y

這不就是向量的坐標表示嗎？所以，在平面坐標系中，設有兩個向量 bm a=(a_x,a_y),bm b=(b_x,b_y) ，它們的數量積按上式計算即可。

如果我們是繞開幾何概念而直接用有序實數對來定義向量的，那麼我們定義兩個向量的數量積就是把它們的對應分量乘起來再相加：

【數量積】設有兩個向量 (a,b),(c,d) ，我們定義 (a,b)cdot(c,d)=ac+bd

並且，我們也規定這兩個有序實數對是有“夾角” 的。

【夾角】設有兩個向量 bm a,bm b ，我們定義這兩個向量的“夾角”是 arccosdfrac{bm acdotbm b}{|bm a||bm b|} 。（這就天然地讓夾角大於等於零角，小於等於平角瞭）

不難驗證，按這種方式定義的數量積，所具有的性質與幾何角度下的向量數量積的性質完全相通。

【註】實際上兩個向量還有一種“相乘”的方式，稱為“向量積”，記作“ bm a times bm b ”。兩個向量作向量積運算，得到的結果是一個向量，它的大小是這兩個向量的模的積再乘以它們夾角的正弦值，方向則垂直於這兩個向量所在平面，按右手定則決定朝向。對向量積的說明需要空間向量的知識。我會在以後講到空間向量時再作為拓展部分來介紹。