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一、基本概念
在股票投資方面，計算個人或者基金的年化收益率、復合收益率（CAGR：Compound Annual Growth Rate），都是一個意思，以下統稱年化收益率；或者計算某一指標的復合增長率時，都會用到復利公式，這是一個指數函數：
其中PV：現值，FV：終值，i:復合增長率，n:年數。
公式中有四個量，知道其中的3個，都能求出另外一個。
年化收益率的意義在於衡量個人投資者、基金的投資收益水平並能夠橫向比較。
案例1：例如股民張三，10年前以10萬元投資股票，之後沒有再添加投入也沒有取出資金，10年後賬戶凈值為40萬元，則總收益率為300%，年化收益率為：10（1+i）^10=40，得i=0.1487，即年化收益率為14.87%。
我們經常說幾年漲幾倍（註意是增長的倍數），下面就列出所需要的年化收益率i（%）：
例如，2年翻一番需要年化收益率41.42%，3年漲一倍需要25.99%，口語的“5年3倍”（3年漲2倍）需要24.57%，口語的“10年10倍”（10年漲9倍）需要25.89%。
如果知道每一年的收益率r1、r2、，計算總的年化收益率i也比較簡單即：
（1+r1）x(1+r2)x(1+r3)x…x(1+rn)=(1+i)^n，進行開方計算即可算得i。
案例2：張三、李四、王五、趙六這四位投資者5年中的收益（%）如下。
在這個例子中，他們的算術平均收益都是一樣的，都是16%。
其中，趙六屬於理想化的情形，每年的收益都一樣，都是平穩的16%，他的總收益和年化收益率都最高；張三比較平穩，總收益和年化收益率接近趙六；王五的收益率波動最大，有2年是負收益，總收益率和年化收益率最低，但往往大傢會看、會記住最高的一年收益是王五的第一年100%，以為他最厲害；李四波動比王五小，收益也好很多。
當有人說他的投資收益是多少的時候，一定要搞清楚他說的是平均收益率還是年化收益率。
可見，保持穩定的收益非常重要，這正是復利的威力，也是不疾而速、以慢為快、慢慢變富的理論基礎。
企業的凈利潤增長也也如此。
二、同一賬戶有增資的情形
實際上很多股民都會在不斷地投入資金，投入的時間和金額都不同，那麼又該如何來計算其年化收益率呢？
案例3：股民張三，10、5、2年前以各投入10萬元買入三隻股票，三隻股票的年化收益率都是15%，則10年後的總凈資產為73.79萬元，當然其總的年化收益率也是15%。
既然是考慮10年的投資，我們也可以利用復利公式，把時間都折到10年，這樣初始投入就不同瞭，但結果是一樣的，總的年化收益率也是15%。
即5年前投入的10萬元相當於10年前投入的10/1.15^5=4.97萬，在初始以4.97萬元投資10年和在第5年以10萬元投資5年的結果是一樣的，都是20.11萬：
4.97^10=(10/1.15^5)^10=10×1.15^(10-5)=10×1.15^5=20.11;
類似地有：2年前投入的10萬元相當於10年前投入的10/1.15^8=3.27萬，在初始以3.27萬元投資10年和在第8年以10萬元投資2年的結果是一樣的，都是13.23萬：3.27×1.15^10=(10/1.15^8)^10=10×1.15^(10-8)=10×1.15^2=13.23。
理解瞭往後折與向前算的等效關系，就能理解下面的計算瞭。
案例4：下面推廣到更一般的情形。張三在過去10、5、2年分別投入10、20、30萬元買瞭三隻股票，年化收益率分別是15%、20%、10%，當前總凈資產為126.52萬元，求總的年化收益率。
根據復利公司，可以列出方程式：10x(1+i)^10+20x(1+i)^5+30x(1+i)^2=126.52,可以用excel進行試算、逼近，得出總的年化收益率為16.01%。有瞭這個收益率有可以反算相當於10年前總共投入多少資金，即28.66萬元，這是折現的概念：10+20/1.1601^5+30/1.1601^8=10+9.52+9.14=28.66，126.52/1.1601^10=28.66。
從上面的計算也可以看出，其實有沒有三隻股票的年化收益率都沒有關系，隻要有每次投入時間的金額和總的終值就可以瞭，這也符合通常的操作習慣，因為資金投入後，經過買賣多次，也都不知道那隻股票的收益率如何，有總的結果就行。
案例5：股民牛犇25年前投入1萬元，20年前投入50萬元，10年前投入100萬元做投票投資，目前賬戶凈資產為1448.34萬元，求其總的年化收益率。
根據復利公司，可以列出方程式：1x(1+i)^25+50x(1+i)^20+100x(1+i)^10=1448.34,可以用excel進行試算、逼近，得出總的年化收益率為15.97%。有瞭這個收益率可以反算相當於25年前總共投入多少資金，即35.66萬元，這是折現的概念：1+50/1.1597^5+100/1.1597^15=1+23.83+10.83=35.66，1448.34/1.1597^25=35.66。
進一步分解可以知道這三筆投入對終值的貢獻是多少：
第一筆投入的貢獻僅占2.80%，最大的是第二筆占66.84%。
這個案例的意義在於，有的老股民、大咖、神人，告訴你多年前投入瞭很小的第一筆資金，現在的收益是好幾千倍，而你不知道他後面又投入瞭多少資金，他自己也都沒法算清楚年化收益率。但是，如果有意無意地以第一筆資金做基數，會顯得年化收益率驚人，這就會誤導瞭大眾（你是否聽說過某股神以8千元起步，現在做到幾百億的故事，他的年化收益率是多少呢？）
如果把所有投入都折到25年，結果如下：
案例6：前面都是股民往賬戶投入的情形，如果有消費如買房、買車賣瞭股票，轉出保證金瞭，又改如何計算總收益瞭？這也不難，轉出保證金就是投入資金的逆運算而已。以案例3來說，如果股民在第8年的時候轉出10萬元保證金，這相當於10年前少瞭10/1.15^（10-2）=1.15^8=3.27萬元的投入，或者說對凈值的影響為13.23萬元。
把投入都折算到10年前：
案例7：做一個綜合的案例。股民錢途15年前開始股票投資，第1筆投入100萬元，之後有投入，也有用錢的時候（負號表示），詳情見下表，當前凈值為859.65萬元，求他的年化收益率。
根據復利公司，可以列出方程式：100x(1+i)^15+20x(1+i)^13-30x(1+i)^10+10x(1+i)^8-20x(1+i)^5+30x(1+i)^2=859.65,可以用excel進行試算、逼近，得出總的年化收益率為15.13%,即相當於859.65/1.1513^15=103.87萬元投資瞭15年。
拉平到15年，可知各筆錢的初始投入和貢獻:
案例8：在案例7中，那麼有人會問，如果10年前沒有撤出30萬元、5年前沒有撤出20萬元，現在應該有多少錢呢？也簡單，把他們的貢獻加回去就行瞭，即859.92+122.75+40.76=1023.13萬元，多瞭163.21萬元。相當於15年前以103.90+14.83+3.89=123.62萬元投資，年化收益率15.13%，目前市值為1023.13萬元。
三、不同的賬戶的年化收益率
如果一位股民有幾個不同的賬戶，或者說基金經理管理著好幾個基金，開始的時間和收益、資金體量都各不相同，又該如何表征其水平即年化收益率呢？
案例9：股民馬應牛有三個賬戶，操作時間、起始資金、凈值如下，求他的年化收益率。
首先根據賬戶A、B、C的初始投入、投入時間、終值很容易算出該賬戶的年化收益率。那麼表示他的操作水平的年化收益率可以用上面三個賬戶的算術平均值16.63%來衡量麼？理論上肯定不行。
我們假設其操作水平的年化收益率為i，對於三個賬戶的操作都是一樣的年化收益率，操作下來終值就是當前的數額379.13。根據復利公式，可以列出方程：
30x(1+i)^10+50x(1+i)^5+100x(1+i)^3=379.13，可以用excel進行試算、逼近，得出總的年化收益率為15.27%,即相當於379.13/1.1527^10=91.54萬元投資瞭10年。
年化收益率15.27%與前面說的三個賬戶的算術平均值16.63%還是有些區別的。
如果其中有賬戶，那麼結果會怎麼樣？肯定會大大影響總的收益率。
案例10：股民熊欣有三個賬戶，操作時間、起始資金、凈值如下，求他的年化收益率。
與案例9類似，先計算出各賬戶的年化收益率，並列出方程計算出總的年化收益率。
30x(1+i)^10+50x(1+i)^5+100*(1+i)^3=278.21,求得i=9.05%。與案例9的年化收益率15.27%立即下降瞭很多。相當於以278.21/1.0905^10=116.98萬元，投資瞭10年。
在案例10中，把個人賬戶ABC改為基金，投入量改單位，同樣的方法去計算基金的總的年化收益率。
下面看一個真實的案例。
案例11：在私募界比較知名的基金經理董寶珍，管理著凌通盛泰基金。從私募排排網的網站，可以找到董寶珍管理的所有基金，其業績如下（完全照搬的數據）。最後一列是根據給出的時間和總收益，進行的核算年化收益率，與私募排排網的計算略有區別。
這裡順便說一下，復利公式中的時間n是可以用更準確的數字去算的，例如，投資瞭5年6個月，可用n=5.5；更為精確的是數到天數，例如投資瞭4年116天，則n=4+116/365=4.32。
由於否極泰在10.3年的年化收益不錯，但由於已經清算，就不計算在裡面。由於不知道各基金具體的規模，這裡假設其起點都是一樣的（如5000萬元），在計算中略有影響。
按照上面講的方法，可以列出方程：
(1+i)^1.2+(1+i)^4.3+(1+i)^3.6+(1+i)^2.6+(1+i)^3.9+(1+i)^1.3+(1+i)^1.3+(1+i)^1.4+(1+i)^1.0+(1+i)^1.0=1.092+1.4055+1.2056+1.6638+1.1410+1.0580+0.9790+1.0350+0.7270+0.7380
解得i=4.63%。這裡比較準確的理解是基於當前的業績如果都運作4.3年，該基金經理的年化收益率為4.63%。
上面是把其最好的已清算的業績排除在外瞭，是否有點不公平，那好，就假設其還在運作，照著其業績算進去，同樣列出方程：
(1+i)^1.2+(1+i)^4.3+(1+i)^3.6+(1+i)^2.6+(1+i)^3.9+(1+i)^1.3+(1+i)^1.3+(1+i)^1.4+(1+i)^1.0+(1+i)^1.0+（1+i）^10.3
=1.092+1.4055+1.2056+1.6638+1.1410+1.0580+0.9790+1.0350+0.7270+0.7380+581.59
解得i=13.27%。這裡比較準確的理解是基於當前的業績如果都運作10.3年，該基金經理的年化收益率為13.27%。這應該比較客觀的，你既不能用最好的業績說事，也不好用短期的業績說事。
這裡提供瞭衡量、比較個人和基金業績的量化方法，是比較客觀的。例如，有的基金公司把一隻基金業績做好，可用於宣傳，但你想買卻買不到。他們也許用後面的基金把前面的樣板拱上去。那麼，你就要把其所有的基金都放在一起去衡量，也就是用上面的方法。
當然，比較個人、基金之間的業績是有點復雜的。時間n最為重要，時間越長所表現出來的收益率越具有參考意義。選擇的話當是選時間又長、業績又好的優先。不同時間是不太好比較的。例如三個基金經理各管著一隻基金，時間和年化收益率分別是：A：10年，10%；B:5年，12%，C：3年15%，你認為那隻基金厲害呢，你會選哪隻呢？感覺是A的時間長，業績也不錯，更靠譜，如果對收益率10%感到滿意，A可以選擇。
資金規模也是一個重要因素，操作1百萬、1千萬、1個億和10個億的策略本身就不同，不同規模是不太好直接相比的，要選擇基本上一個量級的規模進行比較。
此外，收益與大盤也很有關系。上面的計算是假設大盤的影響是一致的。
我們知道，長期年化收益率在15%就是世界級大師的水平。巴菲特長期的年化收益率為20.0%。
總之，這裡基於復利公式，提供瞭個人、基金年化收益率的計算方法、比較方法，既可以準確計算自己的年化收益率，也不容易被一些大咖、基金奇高的年化收益率所忽悠。也不必用excel的XIRR公式，你都不知道那是怎麼計算的
作者：高瞻遠行
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