一、前言
DOE（Design of Experiments）是一種實驗設計方法，用於探索和驗證因素對結果的影響。在DOE中，通常會將實驗分為多個組合，每個組合都會控制一個因素，並測量其對結果的影響。通過這種方式，可以更全面地瞭解因素對結果的影響，並確定最佳因素組合。
下面是DOE的基本步驟：
①確定實驗目標和因素：確定實驗的目標和要探索的因素。這些因素可以是自變量，也可以是因變量。
②設計實驗設計：根據實驗目標和因素，設計實驗方案，包括對比組、試驗處理、因素水平等。
③選擇試驗處理：選擇適當的試驗處理方法，包括平行組、重復組等。
④進行試驗：按照設計好的實驗方案進行試驗，並記錄數據。
⑤分析數據：對試驗數據進行分析，包括統計方法、圖表制作等。
⑥得出結論：根據分析結果，得出關於因素對結果影響的結論。
⑦優化實驗設計：根據結論和實驗數據，優化實驗設計，以提高實驗的準確性和可靠性。
⑧重復實驗：在得出結論後，重復進行實驗，以驗證結論的準確性和可靠性。
著名DOE專傢喬治·博克斯說：“如果能使我們的工程師開始學習運行一個簡單的實驗，將會極大地刺激他們的胃口。哪怕這是他們唯一掌握的數據驅動的方法，也將極大提升實驗的效率、創新的速率以及整個國傢的競爭力。”
二、怎樣學習本課程
DOE是一門復雜的高級統計技術，瞭解基本的統計知識是必要的；
課程提供瞭詳實清晰的實現DOE的路線圖和說明，你必須瞭解其中的要求和準則；
以探究和互動的方式來推動學習，提倡多提問，但不是質疑統計學以及應用準則，你可問“為什麼”？
帶著問題學習，最好能事行準備工廠數據到課堂來討論；
攜帶電腦，安裝MINITAB——以幫助學員進行DOE計算與建立分析模型，並加深統計學原理，解決實際問題。
三、課程設置
第一單元 實驗設計原理
第二單元 正交實驗設計與Minitab
第三單元 全因子實驗設計
第四單元 部分因子實驗設計
第五單元 響應曲面實驗設計
第六單元 篩選實驗設計
第七單元 DOE歸納與提升
第一單元 實驗設計原理
1、引言
制程中復雜的自變量X與輸出響應Y是怎樣地發生作用的？哪些X對Y影響大？哪些對Y影響小？
制程參數應如何設定才能獲得最理想的過程輸出Y的最佳值？
長期的品質問題得不能解決，同類質量問題反復發生，原因到底是什麼？有什麼可行的方法能夠解決企業質量問題的“頑疾”？
答案是肯定的，那就是DOE。
2、什麼是DOE
DOE：Design of Exprements 實驗設計，在質量控制的整個過程中扮演瞭非常重要的角色，它是改進產品質量、產品設計開發和工藝流程改善的重要工具。
實現設計由於其強大有效的功能，已廣泛運用於冶金、制造、化工、電子、醫藥、食品等行業，直至航天業。
3、實驗設計定義
它是一種安排實驗和分析實驗數據的數理統計方法。
計劃安排一批試驗，並按照計劃在設定的條件下進行這些試驗，通過改變過程的輸入變量，獲得新數據，然後對之進行分析，獲得我們所需要的信息，從而得出科學的結論，並據此作出合理有效的決策。
4、DOE發展的三個裡程碑
1920年，實驗設計技術最早是由英國統計學大師費歇爾（R.A.Fisher)所創立，首先將其應用在農業試驗，目的是為提高農業產量。
1947年印度的勞博士（Rao,D,R）發明並建議使用正交表規劃具有數個參數的實驗計劃。
英國統計學傢喬治·博克斯（George Box）發展瞭響應曲面方法（RSM），使得DOE的應用步入一個黃金時代。
二戰後，日本質量管理大師田口玄一研究開發出“田口品質工程方法”，簡稱田口方法。從而極大提升瞭日本產品品質及日本產業界的研發設計能力，成為日本質量管理最重要的工具。
5、檢測復雜的因果關系
實驗設計是檢測、篩選、證實原因的高級統計工具，是利用整個統計領域的知識來理解流程中普遍存在的復雜關系。
它不僅能識別單個因素影響，而且能識別多個因子的交互影響。
DOE通過安排最經濟的試驗次數來進行試驗，以確認各種因素X對輸出Y的影響程度，並且找出能達成品質最佳因子組合。
DOE是進行產品和過程改進最有效的強大武器！
6、傳統實驗的致命弱點
原來大學教授傳授一種試驗方法，至今仍被傳統的工程師所沿用。在這種老式的試驗中，一次隻有一個變量變動，而其他變量均保持恒定。
①試驗周期過長，需要花費大量時間和金錢；
②致命弱點是不能把主效應從交互效應中分離開；
③結果是不斷受挫折、惡性循環和增加成本。
7、DOE的優勢
①可同時變動和測試多個變量的影響；
②實驗次數少 L8(2^7)=128次（全部組合）；
③效果最好最可靠；實驗周期最短；成本最低。
8、實驗設計三項基本原則
1）重復設計
概念：一個處理施於多個單元。簡單講，就是指相同的試驗條件需要重復進行2次或以上的實驗。
作用：估計隨機誤差
常用的策略是采用中心點。
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2）隨機化
概念：以完全隨機的方式安排試驗的順序。
目的：防止出現系統差異的影響。
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3）區組化
概念：一組同質齊性的實驗單元（運行）稱作一個區組，將全部實驗單元劃分為若幹區組的方法稱為區組化。
作用：區組也是一個變量因子，使實驗分析更為有效。
例子：上午與下午有差異、跨度很長的時間分段……
9、實驗設計基本目標
1）篩選
目的：檢測因子（自變量）對響應Y的影響程度——祛除非顯著因子，保留顯著因子。
方法：篩選設計、分部設計
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2）分析
目的：特征化處理，檢測因子的主效應和交互作用，建立Y對X的關系式——回歸方程。
方法：2^k析因設計
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3）優化
目的：尋找“最佳區域”，確定使響應Y值最佳時X的設置條件（因子水平的最佳組合）
方法：響應曲面設計RSM
10、DOE應用范圍
①新產品研制開發；
②產品設計參數優化；
③為產品選擇最合理的配方；
④過程設計與優化，尋找最佳生產條件；
⑤提高老產品質量或產能；
⑥用於質量改進，解決長期質量問題。
11、DOE基本術語
1）實驗計劃
它是實驗中產生結果的一項經濟有效的方法。
實驗設計是一項安排，以便於實驗的進行。而實驗則是一項研究方法，擇定數項獨立變量做隨機變動，從而確定其效應。一項良好的實驗，可以使實驗的結果獲得簡明的解釋，可以確定各項因素的主效應，也可據此確定各個因素間的交互作用。
一般情況下，實驗計劃由正交表實現。
3因子2水平實驗計劃表(比如+表示是、正確等，-表示非、錯誤等)
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2）響應
響應：亦稱指標、質量特性，是在實驗設計中可以測量的系統輸出，一般以Y表達。
輸出響應Y可以是計量型指標和計數型指標兩種表達方式。
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3）因子與水平
因子：指系統或過程輸入變量。是工程師需要研究或設定的對象，借以說明響應的大小。
因子有兩種分類方法：
定性因子的水平被限制為個數，沒有什麼固定順序，如操作者或材料等；
定量因子則可取連續值（如溫度、壓力）的因子。
水平：在進行每一次實驗時，每一因子至少應從兩個層次進行研究，稱其為因子的水平。例如溫度可能其應用的范圍是210℃～230℃，這兩個值可以作為因子溫度的水平。
重要提示：因子的水平數至少應取2個
表達方式：
若為2個水平：高水平+1；低水平-1；
若為3個水平：由低到高，依次用1、2、3表達。
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4）主效應與交互作用
主效應：一個因素對輸出響應的影響。
交互作用：兩種或以上的因素共同對輸出響應值的影響。
因子的交互作用：一文輕松看懂交互作用。
12、如何選擇和確定因子及水平
如何正確的選擇因子及水平，完全依賴於工程師的經驗以及他對過程的理解。
在頭腦風暴/魚骨圖分析的基礎上，選擇所有主要的因子，而放棄哪些顯然不重要的因素。
因子水平取值應盡可能地分散，但不要過於分散，以便對分析造成不利影響。
水平取值的建議：以現行操作值為中心點，再來確定控制范圍內的最大值和最小值。
13、實驗設計的基本程序
14、實驗設計的種類
15、DOE基本統計知識補習
DOE提供瞭一套組織和表達數據的方法——結構化的矩陣表，按此方式提供數據：試驗條件X和實驗結果Y；同時為建立數學模型下達指令：要考察哪些因素，而哪些因素則不需要列入模型。
1）兩類錯誤與置信度
第Ⅰ類錯誤：記為α，也稱顯著性水平。拒絕一個正確的假設或結論的概率。
第Ⅱ類錯誤：記為β。接受一個錯誤的假設或結論的概率。
置信度：記為1-α。
α一般取值：0.01、0.05、0.10，系統默認值0.05。
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2）正態分佈原理
正態分佈又稱高斯分佈，它是質量工程中運用最廣泛的連續分佈，是質量管理最核心的統計基礎。
正態分佈圖形/概率密度函數：
標準正態分佈圖
詳細的正態分佈介紹：https://zhuanlan.zhihu.com/p/128809461。
小明每天上學的通勤時間是一個隨機變量X，這個變量服從正態分佈。統計他過去20天的通勤時間(單位：分鐘)：26、33、65、28、34、55、25、44、50、36、26、37、43、62、35、38、45、32、28、34。現在我們想知道他上學花30~45分鐘的概率。
首先，我們將問題轉化為數學表達式，計算其上學花30~45分鐘的概率，就是求P(30 < X < 45)。一個變量服從正態分佈，立馬考慮到它的均數和標準差是多少。這裡我們簡化一下用他過去20天的樣本數據來代替。所以，我們首先計算這20天通勤時間的樣本均數及標準差。以下通過Excel計算：樣本均數=38.8(分鐘)，標準差=11.4(分鐘)。
然後，我們進行標準化，這一步很重要，也稱Z變換。通過標準化，所有服從一般正態分佈的隨機變量都變成瞭服從均數為0，標準差為1的標準正態分佈。對於服從標準正態分佈的隨機變量，專門用Z表示。因此，求P(30 < X < 45)，就轉換成瞭求P(-0.77 < Z < 0.54)，標準化的具體計算如下。
- 30 → (30-38.8) / 11.4 = – 0.77
- 45 → (45-38.8) / 11.4 = 0.54
- X → Z
- P(30 ≤ X ≤ 45) = P(-0.77 ≤ Z ≤ 0.54)
經過標準化後，原來的曲線的形狀不會變化，也不會改變胖瘦，隻是位置發生平移。
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3）正態分佈的三個關鍵性指標
一組數據用圖形來表示，就叫做分佈。用正態分佈來描述一個過程。
分佈的3個特征是幫助我們理解過程的關鍵！
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4）修哈特3σ原則
雖然理論上正態隨機變量可以取無數個值，定義域是整個實數軸，但實際上在[-1，1]這個區間就包含瞭它可以取的68%的值，[-2，2]區間包含瞭95%的值，[-3，3]包含瞭它可能取的99.73%的值。
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5）試驗誤差
包括系統誤差與隨機誤差
試驗總誤差=條件誤差+試驗誤差
條件誤差：指由於試驗條件（因子及水平）的變化引起的誤差。
試驗誤差：除試驗條件以外不可控的偶然因素引起的誤差。
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6）方差分析的基本模式與目標
（1）方差分析（ANOVA）
它是假設檢驗的擴展，主要用於分析實驗結果，它將所有組間誤差與試驗誤差分離開來，然後分析檢驗其統計的顯著性：因子顯著性；擬合回歸的顯著性。
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（2）方差分析的基本模式
顯著性檢定指標——P value
DOE分析的一個主要目的就是要區分哪些因子是關鍵的，哪些是次要的。這需要復雜的統計計算與檢測，但Minitab給我們一個簡便的方法——P值判定。
通過P value，我們還可以判斷：
該項是否屬關鍵因子(P<0.05=是)？
該模型是否屬呈現彎曲(P<0.05=是)？
該模型擬合是否有效(P<0.05=是)？
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7）回歸分析的基本模式與目標
回歸分析：一種統計方法，它通過計算變量之間的相關系數進而估計X與Y之間的聯系公式。
直線回歸方程的一般形式是Y=a+bx
Y不但與多個自變量X1、X2……有關，還與AB、AA等類型有關，實際運用中令這些項為新的自變量，就可以化為多元線性回歸方程。
因子試驗設計應用的是一次線性回歸方程，其基本表達式為：
其中將二階項AA或交互項AB等，都看成是一個新的自變量X……
響應曲面設計應用的是二次曲面回歸方程，其基本表達式為：
第二單元 正交實驗設計與Minitab
1、DOE應用：正交實驗設計
它是日本戰後質量管理的重要工具，上世紀70年代傳入我國，在冶金、化工、電子、機械、紡織、醫藥等行業得到廣泛應用。
主要手段是運用正交表。
目的：進行工藝參數設計與優化及其質量改進
優點：運用范圍廣；因子及水平數不受約束；方法簡單易行，可手工操作，也可電腦操作。
2、正交表
1）什麼是正交表
它是一種規格化的表格，也是實驗計劃，從一般意義講，隻要掌握正交表的運用方法就可達到DOE目的。表達方式如下。
關於正交的詳細描述移步：信號與系統3-傅裡葉變換與頻域分析有關內容。
表2.2.1 L9(3^4)正交表
正交表案例：正交實驗設計過程。
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2）正交表的性質
分佈均勻：任一列中，任一因素的水平（狀態）出現的次數相同。
整齊可比：任兩列中，任意一個水平組合出現的次數相同。
如果上述條件中的任一條不滿足，則不再是正交表。正交表的獲得有專門的算法，對應用者來說，不必深究。
3、實例應用(提高磁鼓電機輸出力矩)
磁鼓電機是彩色錄像機的關鍵部件之一，國外同類產品的力矩指標規定大於210g·cm。某廠工程師以這個水平做依據，對電機質量進行調查，不合格率為23%。決定利用試驗設計，提高電機的輸出力矩。
一切從簡單入手：正交設計是DOE體系中簡單實用的一種方法，通過本案例——瞭解DOE的基本概念、機理和操作步驟。
步驟1：明確品質改善和試驗目的，本試驗目的是提高磁鼓電機的輸出力矩，屬於單響應正交實驗設計。
步驟2：選擇響應變量(即品質特性)。
註意區分指標的三種情形——望小、望大、望目，這是正交實驗也是田口方法的特點。
本例用輸出力矩作為考察指標，是一個望大特性，要求越大越好。
步驟3：確定因子及水平
工程人員分析認為，影響輸出力矩要有3個因素：充磁量、定位角度及線圈匝數，根據以往經驗，分別確定瞭三個水平。此3個因素的排列組合為3*3*3=27種。通過Excel制作的因子水平表如下。
因子水平表
步驟4：制定實驗計劃（選擇正交表）
打開Minitab建立正交表。
進入正交表生成界面正交表設置通過Minitab生成的田口正交表
步驟5：進行試驗，測定試驗結果
（1）按照表2.2.2做試驗
表2.2.2 補齊實驗結果的正交表
通過直觀法可以確定實驗號5的效果最好，但看不出影響的程序，即哪個顯著、哪個次之，不能明確效應大小。將實驗結果填入Minitab的C4列，如下圖所示。
填入實驗結果的正交表
正交表移步：https://download.csdn.net/download/liht_1634/88056440。
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（2）試驗要點
①試驗的順序應當隨機化；
②每次試驗的環境條件基本相同；
③確定樣本大小：計量數據3個，離散數據50；
④不僅記錄響應數據，還應包括環境數據；
⑤確保計量系統可信（MSA）；
⑥填列數據時要仔細，不要錯位。
步驟6：建立模型，分析數據
分析數據就要事先建立數學模型——這是DOE方法的基本策略；
本步驟要做兩件重要的工作：
A、通過計算整理，編制“均值分析表”；
B、手工繪制一份“主效應圖”。
均值分析：計算各因子每一個水平對Y的貢獻（均值）
通過Excel進行均值計算：
本結構化矩陣表下載移步：DOE實驗設計結構化矩陣表。27個排列組合中取出9個組合，其有一定的局限性。
R/效應的計算：因子的主效應=因子為高水平時輸出的平均值-因子為低水平時輸出的平均值。
通過Minitab產生均值響應表與主效應圖：
確定後即可生成均值響應表與主效應圖：
均值響應表與主效應圖
主效應圖分析
效應：某因子由於其水平的變化而給Y帶來的影響，以其平均值的極差表示。
步驟7：分析數據，作出試驗結論
（1）選優準則
若是望大特性：則取最大響應所對應的水平；
若是望小特性：則取最小響應所對應的水平；
若是望目特性：則取適中響應所對應的水平。
（2）工程推斷
顯著因子排列：B – A – C，參照均值分析表；
最優因子水平組合：A2 B2 C3，參照效應分析圖。
最佳工藝設置：充磁量1100；定位角度11；線圈匝數90。
4、方差分析
充磁量、角度、匝數三個試驗因素對輸出力矩的影響在統計學上是不是顯著，那麼接下來需要進行方差分析。
1）調用方差分析
2）雙擊選擇響應與因子
3）方差分析結果
最簡單直接的解讀方法是直接看最後一列，概率p值。發現僅角度的p值小於0.05，也就是說統計上認為角度對試驗指標轉化率有顯著影響，統計上有意義。其他兩個因素影響相對較小。
現在角度在統計上認為是一個相對很重要的因素，它下設3個水平，請問這3個水平差異表現如何？該選誰作為優水平呢？所以，需要多重比較。
5、Minitab與DOE
1）Minitab簡述
Minitab是美國MINITAB公司發明的當今世界功能最為強大的統計軟件。
Minitab統計軟件為質量改善和概率應用提供準確和易用的工具。它被許多世界一流的公司所采用，包括通用電器、福特汽車、通用汽車、3M、LG、東芝以及Six Sigma顧問公司等。
作為統計學入門教育方面技術領先的軟件包，Minitab也被4000多所高等院校所采用。
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2）Minitab讓統計變得如此簡單
實現六西格瑪改進的工具；打開統計奧秘之門的鑰匙；運用軟件讓我們成為專傢。
圖2.4.1 語言切換
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3）Minitab的使用簡介
圖2.4.2 Minitab操作界面圖2.4.3 Minitab數據文件的特點與結構圖2.4.4 復原正交試驗計算結果圖2.4.5 使用Minitab進行預測
第三單元 全因子實驗設計
1、全因子設計基本原理
全因子設計：指所有因子及水平的所有組合都要至少要進行一次試驗。
將k個因子的二水平試驗記作2^k試驗。
當k=4時，試驗次數m=2^4=16次
當k=5時，試驗次數m=2^5=32次
當k=7時，試驗次數m=2^7=128次
……
2、全因子設計應用
1）應用
全因子設計是DOE方法體系中的典型代表。
運用瞭兩大統計功能——方差分析和回歸分析
方差分析——檢測並區分組間誤差與試驗誤差，借以確定因子的顯著性——自變量X對Y的影響。
回歸分析——建立回歸方程Y=f(x)進行方案選優。
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2）作用
最重要的目的——用於全面分析系統（產品或過程）中所有因素的主效應和交互作用；也是選優的有效工具。
3、全因子設計約束條件
1）約束條件
因子總數≤5個；
因子水平數且隻能是2個，即(-)和(+)；
中心點設置好：2～4個（不是必須的，試驗次數也將相應增加）。
4、關於試驗中的中心點
1）什麼是中心點？比如“反應溫度”
| 代碼 | 低-1 | 高+1 | 中心0 |
| 實際值 | 200℃ | 300℃ | 250℃ |
設置中心點的意義：
“重復試驗”的要求，增加中心點是一個較好的試驗安排。
增強瞭統計分析能力（評估實驗誤差及彎曲趨勢的能力）
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2）什麼情況下使用中心點？因子設計、RSM
中心點設置次數：2～4個
根據實驗目的和實驗成本綜合考慮。
5、代碼值與真實值的換算
系統自動生成水平代碼值（-1、0、1）
好處：有連續變量和無量綱特點，有利於統計分析和建立回歸方程
| 低水平L | 中心值 | 高水平H | |
| 真實值 | 100 | 150 | 200 |
| 代碼值 | -1 | 0 | +1 |
6、試驗實際分析五步流程
7、析因設計
1）二次建模
第一次建模：（擬定初選模型）
考察所有的因子，但不考慮三階（如ABC）及以上的項，此法則適用於所有模型。
第二次建模：（簡化模型）
利用初級模型分析的結果，刪除非顯著因子，隻使用顯著因子來構建較小的更好的模型；
是建立Y對X的回歸方程和優化器分析的基礎。
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2）模型數據分析
Minitab回歸分析與方差分析，生成供我們分析的信息——工程師要學會解釋這些數據並作出正確的決策。
包括6項分析指標：
①總效果【H1：模型有效 P<0.05】
②彎曲【H0：無彎曲 P>0.05】
③失擬【H0：無失擬 P>0.05】
④擬合相關系數 R-Sq及R-Sq(adj)（預測的）越接近1越好；二者之差越小越好
⑤標準差S分析 越小越好
⑥因子效應顯著性
P值判定【H1：模型有效 P<0.05】
圖形判定（正態效應圖/帕累托效應圖）
8、實例應用(壓力成型塑膠板工藝條件)
目的是探討工藝條件對產品強度的影響，並試圖提高產品強度。計劃在試驗中安排4次中心點，因子水平表如下：
步驟1：確定設置試驗計劃
步驟2：安排試驗-實驗計劃與數據表
步驟3：一次建模——擬合模型
如何構築模型（第一次/全模型）
T設置：將需要考察的項目列入模型——包括所有的主效應和二階項，如A B C AB AC BC，但不考察三階及以上的項，如ABC。
一般情況下，均不考察三階及以上的項！本法則適合於任何設計模型。
殘差診斷
什麼是殘差？
殘差是響應觀察值與模型預測值之差別。
為什麼要進行殘差分析？
隻是進行ANOVA和回歸分析並不能保證模型符合實際情況，隻有殘差分析正常，才能判斷模型有效。
如何進行殘差分析？
殘差分析是通過4個圖形工具來進行的。
十、案例
1、爆米花制作過程
舉個生活中的例子，相信大傢都吃過爆米花，但是大傢是否都瞭解爆米花的制作過程？在品嘗爆米花的時候，不知道您是否註意到有很多爆米花沒有爆開，也有很多被爆焦。這兩種情況都是生產過程中的質量缺陷。
主要因子：
1 ）加工爆玉米花的時間（介於 3 至 5 分鐘之間）；
2 ）微波爐使用的火力（介於 5 至 10 檔之間）；
3 ）使用的玉米品牌（ A 或 B ）。
響應：玉米的 " 爆開個數 " 或“爆開率”。
在爆玉米花時，我們希望所有（或幾乎所有）的玉米粒都爆開瞭，沒有（或很少）玉米粒未爆開，這是最終關註的重點。
試驗設計的主線是根據因子的取值范圍，進行多種參數組合，如下圖為兩水平試驗組合，形成多次試驗的方案，依次進行試驗後，通過試驗結果分析，確定哪一種參數組合是最優的。
利用最小二乘法等擬合方法，建立響應與多個因子之間的數學模型，亦稱響應面模型。
最終通過試驗設計確定：使用 A 品牌，加工 5 分鐘，並將火力調為 6.96 級。試驗預測在此種設置下加工，產出的玉米粒 445 個全部都爆開瞭。
本文的試驗既可以是實物試驗，也可以是仿真，在可靠性設計分析中，試驗設計常用於解決無法建立顯式的可靠性模型等問題，起到事半功倍的作用。