陶哲軒17歲完成碩士論文並赴普林斯頓大學念博士。然而，少年時期對前人方法的熟練運用並不等於數學研究的順利，在博士期間，他震驚地發現原來自己對數學的很多領域一無所知，面對挫敗，他掛過科、沉迷過遊戲，但最終靠著聰明和毅力克服瞭新的挑戰，憑借對孿生素數理論的部分證明成為數學界一顆冉冉升起的學術新星。
本文中陶哲軒的建議告訴我們，數學是一個基礎的創造性藝術，學習數學要註重理智直覺思維與邏輯思維的結合，但同時提醒我們萬丈高樓不能平地起，創造性的研究來自基礎的紮實的勤奮努力的不斷學習積累。
編者註：原文分為25小節，陶哲軒在他的博客中根據學術生涯各個階段對文章進行劃分，本譯文僅為部分內容。
01
數學不隻是分數、考試和解題套路
對一個本科生來說，成績平均績點和考試很重要。而比起對概念的真正理解或者理智的、直覺的思維，考試往往更強調對技巧和理論的熟記。
然後，你進入研究生階段以後，你會發現，更高層次的數學學習(更重要的，數學研究)更需要你的智慧(intellectualfaculties)，而不隻是記憶或者學習的能力、或者生搬硬套一些現有論證或示例。這往往使得一個人放棄(至少修正)很多本科學習習慣。為瞭提高自己的理解更需要自我激勵地學習和試驗，而不是盯著一些人為基準比如考試。另外，由於本科階段主要是教授幾十年甚至幾個世紀前就已發展起來的成熟的優美的理論，研究生階段你將遇到更尖端的(也更有趣的)“活生生的”內容。
02
數學不隻是嚴密和證明
學校剛教授本科生數學時往往用一種直觀的，不是很正式的方法(比如用斜率和面積來表述導數和積分)，再然後被告知要用更精確和正式的方法(比如用epsilon和delta描述導數)來解決和思考問題。
知道怎麼樣嚴格地進行推理當然很重要，因為這可以讓你避免某些常見錯誤、排除一些錯覺。不幸的是，這也把一些“模糊式（fuzzier）”和直覺式（intuitive）思考能得到的那種意料之外的結果因為“不嚴格”而拋棄瞭。通常，如果一個人把天生的直覺給拋棄瞭，那也隻能做一些常規的數學瞭。
嚴密，不是說把直覺都扔掉，而是用來把那些錯誤的直覺剃掉，提取和保留正確的直覺。隻有把嚴格的形式和直覺結合起來，才能解決復雜的數學問題：前者用來正確地解決一些細節問題，後者用來把握整體。缺少其中任何一個都會讓你在黑暗中摸索很久（雖然這也許也行得通，但效率很低）。所以在你熟悉嚴密的數學思考方式後，你應該重新發揮你的直覺，並運用你新掌握的思考技巧來檢查和提煉這些直覺而不是拋棄他們。要達到的理想的狀態是每次探索式的論證都能自然而然地導出嚴格的論證，反之亦然。
03
努力（Workhard）
事到臨頭，依靠聰明臨門一腳或許能成功一時，但通常在研究生或更高的層次學術研究中，這樣做往往不行。學習數學的任何領域都需要進行一定量的閱讀和寫作，而不隻是思考。與公眾通常認為的相反，數學上的突破並不是隻依靠（或主要依靠）天才們的“我發現瞭”（Eureka），而是由經驗和直覺來指引的大量艱苦的工作來推進的。（參考對天才的崇拜）。
所謂魔鬼常在細節之中（Thedevilisofteninthedetails）：如果你覺得自己理解瞭數學的某個小分支（apieceofmathematics），你應該能在閱讀相關文獻之後，撰寫一份關於其如何推理，如何運作（goes）的總結（sketch）來進行“備份（backup）”，並最終寫出關於這個主題的完整且詳細的論述（treatment）。
如果一個人可以隻負責提出宏大的想法（grandidea），讓其他“小人物（lessermortals）”來處理細節，那就真是太好瞭。但相信我，數學領域根本不是那樣。過往經驗說明：隻有那些已經有充足的細節和證據（至少有個概念性驗證）周密地支撐起宏大想法的論文，才值得讓一個人付出時間與精力。如果連想法的發起人都不願做這些，那就沒人願意瞭。
04
享受(enjoy)你的工作
某種意義上這是前面的推論。
如果你不享受自己正在做的事情，就很難長期保持活力去取得成功。最好是從事那些你喜歡的數學領域，而不隻是趕時髦。
05
不要基於出名和魅力作職業決策
僅僅因為魅力（glamour）進入某個領域或者院系不是個好主意。
僅僅因為有名而緊盯著一個領域最有名的問題（或數學傢）也不好。
數學裡沒有那麼多名聲和魅力，把這些當做你的主要目標來追求也不值得。任何迷人的問題的競爭都十分激烈。隻有那些基礎紮實的人（尤其是在那些不那麼有名的方面有豐富經驗的人）才更有可能到達任何地方（arelikelytogetanywhere）。
一個未解決的有名的難題常常經年累月得不到解決，如果一個人在開始的時候花功夫去解決那些簡單的（也不那麼有名的）模式問題（modelproblems），獲取技巧（acquiringtechniques），直覺，部分結果，內容和文獻，便能夠在有機會解決實際中的大問題之前積累富有成效的解決問題的方法，並剔除那些徒勞無功的手法。
偶爾情況下，某個大問題相對輕易地被解決瞭，僅僅是因為那些擁有的正確工具的人沒有機會看到這個問題，但對於那些被深入研究的問題，這種情況很少發生，尤其是那些已經因為發現很多行不通的定理（”nogo”theorems）和反例而導致整個解決方案被排除瞭的問題。
因為類似的原因，不應該為瞭獲獎和出名而追求數學；長遠來看，僅僅沖著為瞭做出好的數學和為你的領域做出貢獻是一個較好的策略，獲獎和出名自然水到渠成。
06
學習、再學習
學校剛教授本科生數學時往往用一種直觀的，不是很正式的方法(比如用斜率和面積來表述導數和積分)，再然後被告知要用更精確和正式的方法(比如用epsilon和delta描述導數)來解決和思考問題。
知道怎麼樣嚴格地進行推理當然很重要，因為這可以讓你避免某些常見錯誤、排除一些錯覺。不幸的是，這也把一些“模糊式（fuzzier）”和直覺式（intuitive）思考能得到的那種意料之外的結果因為“不嚴格”而拋棄瞭。通常，如果一個人把天生的直覺給拋棄瞭，那也隻能做一些常規的數學瞭。
嚴密，不是說把直覺都扔掉，而是用來把那些錯誤的直覺剃掉，提取和保留正確的直覺。隻有把嚴格的形式和直覺結合起來，才能解決復雜的數學問題：前者用來正確地解決一些細節問題，後者用來把握整體。缺少其中任何一個都會讓你在黑暗中摸索很久（雖然這也許也行得通，但效率很低）。所以在你熟悉嚴密的數學思考方式後，你應該重新發揮你的直覺，並運用你新掌握的思考技巧來檢查和提煉這些直覺而不是拋棄他們。要達到的理想的狀態是每次探索式的論證都能自然而然地導出嚴格的論證，反之亦然。
07
不要畏懼學習領域之外的東西
在社會上，對數學恐懼很普遍。不幸的是，在職業數學傢中有時也存在這種現象。如果為瞭在你研究的問題上取得進展而不得不學習一些額外的數學知識，這是個好事——你的知識范圍將會擴大，你的工作將更有趣，無論是對你的研究領域中的人還是那個其他領域的人。
如果某個領域很活躍，那就值得研究為什麼它這麼有趣，人們都在試圖解決哪種問題，有哪些比較酷或者驚奇的洞見和結果。這樣的話，如果你在工作中遇到一個類似問題、障礙或者現象，你就知道該去哪找解決方法瞭。
08
瞭解你所使用的工具的局限
數學教育（和研究論文）都聚焦於能起作用的方法（當然這也很自然）。但知道工具的局限性也同樣重要。
這樣就不會在一個起初就註定廢掉的策略上浪費時間，而是去尋找新的工具解決問題（或者去解決其他問題）。因此，知道一些反例或者容易分析的模型和知道你所用工具能解決和不能解決的問題是同等重要的。
另外，知道某工具在哪些情況下為其他方法所替代，以及各種方法的利弊也是很有價值的。如果沒有其他方法獲得或者理解答案時，某個神秘地解決問題的工具被視為魔棒，這時就需要你更好的去理解該工具。
09
學習其他數學傢所用的工具
這條是前面論述的推論。當聽他人談話或者閱讀論文時，你會發現自己感興趣的問題被不熟悉的工具解決，而這種工具似乎不在你自己的“錦囊”（bagoftricks）裡。
遇到這種情況時，你應當看看自己的工具是否能完成類似的任務。你也應該看看為什麼其他工具如此有效。比如，找到那種工具發揮奇特作用的最簡單的模型。
一旦你很好地比較瞭新工具和老工具各自的利弊，將來遇到這些工具可能派得上用場的情況你就能想起來。經過足夠多的練習，你就能永久地將那個技能點加入到自己的技能樹裡。
10
默默地問自己，然後回答
當你學習數學時，不管是看書還是聽課，通常你隻看到最終結果——非常完美，高明和優雅。然後數學發現的過程卻往往非常混亂，很多嘗試很幼稚、沒有成果或者瞭然無趣。
盡管忽略掉這些“失敗”的追究的做法是誘人的，但事實上，他們往往對於更深入理解某個主題是必要的，通過不斷地排除，我們最終通往成功之路。所以不應該害怕問“笨”問題，要勇於挑戰傳統智慧（conventionalwisdom）。對這些問題的答案偶爾能得出令人驚訝的結論，但更多的時候是告訴你為什麼傳統智慧起先在那，而這是很值得知道的。
例如，給一個標準引理，你可以問如果刪掉一個假設，會發生什麼；又或者試圖加強結論。如果一個簡單的結果通常用方法X證明，可以想想能不能用方法Y證明。新的證明方法或許不像原來方法那麼優雅，或許根本就行不通，但不管怎麼樣，都是試圖弄清方法X和Y的相對威力。這在證明不那麼標準的引理時是很有用的。
11
質疑自己的工作
如果你意外地發現自己幾乎不費吹灰之力地解決一個問題，也不太明白為什麼，你應該帶著懷疑的眼光重新審視你的解決方法，特別是你所用的方法可能能證明更強，卻早已知曉是錯誤的結論。而這就意味著你所用的方法有瑕疵。
同理，如果你試圖證明一些野心勃勃的斷言，應該先試試找反例。一旦找到一個，就節省瞭很多時間。或者你遇到一些困難，而這應該能給出一些證明的線索——告訴你一些為瞭證明出結論必須消滅的“敵人”。事實上，把這種懷疑論用於數學傢的斷言（claim）也不是個壞想法。
如果啥都沒找到，也能讓你理解為何那個斷言是正確的，以及它到底有多強（howpowerfulitis）。
寫在最後：
陶哲軒，男，1975年7月17日出生於澳大利亞阿德萊德，華裔數學傢，任教於美國加州大學洛杉磯分校（UCLA）數學系。
陶哲軒是澳大利亞唯一榮獲數學最高榮譽“菲爾茲獎”的澳籍華人數學教授，也是繼丘成桐之後獲此殊榮的第二位華人。是調和分析、偏微分方程、組合數學、解析數論等重要數學研究領域裡的重要數學傢，被譽為“數學界莫紮特”。
在陶哲軒的研究生涯裡，他被數學界公認為是調和分析、偏微分方程、組合數學、解析數論、算術數論等接近10個重要數學研究領域裡的大師級年輕高手，這些方向都是數學發展中極熱的生長點。此外，他的研究領域還涉及工科，在照相機的壓縮傳感原理（調和分析在實際中的應用）方面獲得瞭突破性成果。
陶哲軒另一項著名的成果是與本·格林合作用質數級數解決瞭一個由歐幾裡得提出的與“孿生質數”相關的猜想：一些質數數列間等差，如3、7、11之間，均差4；而數列中下一個數15則不是質數。這個已經有2300年歷史的數學懸案，強烈吸引瞭他的興趣，他與同伴甚至證明瞭即使在無窮大的質數數列中，也能找到這樣的等差數列段，這個發現被命名為“格林—陶定理”。
（文稿選自數學經緯網）