前置知識:
根軸與圓冪定理緊密相關
可以證明,到兩圓等冪的點的軌跡是一條直線,這條直線被稱為兩圓的根軸
根軸有以下性質:
1、若兩圓相交,其根軸就是公共弦所在的直線
2、若兩圓相切,其根軸就是過兩圓切點的公切線
3、若兩圓相離,其根軸就是過兩圓四條公切線段中點的直線
4、在任何情形下,根軸垂直於兩圓連心線
5、(根心定理)三個圓,兩兩的根軸或交於一點,或互相平行
下面用分別用一個題目作為根軸與根心具體應用的例子
例1、在凸五邊形ABCDE中,AB=AE,angle ABC=angle AED=90^circ,P為五邊形內一點,使得BPbot AC,EPbot AD,證明:APbot CD
證法一:
由射影定理,CB^2=CKcdot CA, DE^2=DLcdot DA
故CD是odot A與odot AKL的根軸
而odot AKL的圓心在線段AP上,所以APbot CD
證法二:
AKcdot AC=AB^2=AE^2=ALcdot AD
故AP是odot CKP與odot DLP的根軸
而odot CKP與odot DLP的連心線平行於CD,所以APbot CD
例2、在triangle ABC中,AB<AC,點K,L,M分別是邊BC,CA,AB的中點,triangle ABC的內切圓圓心為I,且與邊BC相切與點D,直線l經過線段ID的中點且與IK垂直,與直線LM交於點P,證明:angle PIA=90^circ
證:
記triangle BIC的外接圓為圓gamma,記以K為圓心,KD為半徑的圓為圓omega
易知圓gamma的圓心為triangle ABC的外接圓中mathop{BC}limits^{frown}的中點
由對稱性,X,Y分別於C,B關於直線AI對稱
begin{align} MXcdot MB&=(AX-AM)cdot MB\ &=(AC-AM)cdot MB\ &=frac{(2AC-AB)cdot AB}{4}\ &=frac{AC^2}{4}-(frac{AC-AB}{2})^2\ &=MK^2-DK^2 end{align}
因此,點M在圓gamma與圓omega的根軸上,類似地,點L也在這兩圓根軸上
從而直線ML即為這兩個圓的根軸
又因為直線l是點圓I與圓omega的根軸
故點P是點圓I,圓omega,圓gamma的根心,直線PI即為點圓I與圓gamma的根軸
而事實上,點圓I與圓gamma的根軸為圓gamma在點I處的切線,與AI垂直
所以angle PIA=90^circ
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