高次幻方是現今中外幻方研究者正在攀登的幻方領域的頂峰。在我國, 8,9階二次幻方有大量的構造方法. 至於高階高次幻方,<你亦可以造幻方>( 叢書: 棘手又迷人的數學 科學出版社 2012年 ) 中的 “構造高階幻方的加法” 同樣可用以構造高階高次幻方，其理論證明亦已給出。所以世界難題應是某些特定階數的高次幻方。
本專欄通過一個9階二次對稱幻方的構造過程和一個8階二次幻方的構造過程, 向讀者展示構造二次幻方過程中會遇到那些問題, 以及可能的解決辦法。
9階二次幻方
若要構造一個9階二次幻方, 首先要解決的一個問題是,1至81 如何平均分成9組, 使每組9個數的和相等, 其平方和亦相等。
第1步
圖1是1個3乘3的方陣, 每行3個數字之和都等於15。
圖1
圖2是1個1乘9的長方陣, 9個數字之和等於324。
圖2
圖3是1個由圖1 3乘3方陣衍生的3乘9矩陣, 每行9個數字之和都等於45.
圖3
圖4是1個3乘9矩陣, 由圖3各列的3個數都加上圖2同列的數所得。
圖4
圖4 每行9個數字之和都等於369, 其平方和都等於20049。
第2步
圖5是1個3乘3的方陣, 每行3個數字之和都等於15. 由圖1衍生所得
圖5
圖6是1個由圖5 3乘3的方陣衍生的3乘9矩陣, 每行9個數字之和都等於45.
圖6
圖7是1個3乘9矩陣, 由圖6各列的3個數都加上圖2同列的數所得。
圖7
圖7 每行9個數字之和都等於369, 其平方和都等於20049。
第3步
圖8是1個3乘3的方陣, 每行3個數字之和都等於15. 由圖5衍生所得
圖8
圖9是1個由圖8 3乘3的方陣衍生的3乘9矩陣, 每行9個數字之和都等於45.
圖9
圖10是1個3乘9矩陣, 由圖9各列的3個數都加上圖2同列的數所得。
圖10
圖10 每行9個數字之和都等於369, 其平方和都等於20049。
第4步
圖4, 圖7和圖10從上到下依次排在一起組成1個9乘9方陣, 稱之為基方陣A, 如圖11所示。
圖11 基方陣A
基方陣A每行9個數字之和都等於369, 其平方和都等於20049。
第5步
基方陣A上方3乘9矩陣, 下方3乘9矩陣作列交換得方陣B,列交換的方式由方陣B中淺灰格顯示, 如圖12所示。
圖12 方陣B
第6步
方陣B作各行順移得方陣C, 順移的方式由方陣C中淺灰格顯示, 如圖13所示。
圖13 方陣C
方陣C對角線上9個數字之和都等於369, 如圖14所示。
圖14
方陣C是一個9階二次對稱幻方，其幻方常數為369。各個數字平方後的幻方常數為20049。為瞭讓讀者有一個清晰的印象, 各個數字平方後所形成的幻方, 如圖15所示。
圖15 各個數字平方後所形成的幻方
其對角線上9個數字之和都等於20049，如圖16所示。
圖16