上期回顧

說明

本文中的定理性質內容較多，後續會給出證明，當然筆者遇到有趣的性質也會隨時補充

一、內心

1.定義^[1]：

內心（Incenter），三角形三條內角角平分線的交點叫三角形的內心，即內切圓的圓心。

2.如何證明三角形的三條內角角平分線交於一點？

三角形的內心I

過I作三邊的垂線分別交於A',B',C'.由角平分線性質可知：IA'=IB'=IC'(斯霍騰定理)，易證 IC'bot AB,IB'bot AC,IA'bot BC .綜上所述易得I為內切圓的圓心

3.性質^[2]

1、三角形的三個角平分線交於一點，該點即為三角形的內心。

2、三角形的內心與三角形位置關系：現有AI交BC於點D；BI交CA於點E；CI交AB於點F,三角形內接圓分別交BC,CA,AB於X,Y,Z。

（1） IX=IY=IZ

（2） frac{BD}{CD}=frac{b}{c} (角平分線定理)

（3） frac{BX}{CX}=frac{p-b}{p-c} ,其中 p=frac {a+b+c}{2} 為半周長

（4） color{Blue}{AI:BI:CI=frac{1}{sinfrac{A}{2}}:frac{1}{sinfrac{B}{2}}:frac{1}{sinfrac{C}{2}}}

（5） color{Blue}{S_Delta IBC:S_Delta ICA:S_Delta IAB=a:b:c}

3、 r=frac{p}{3}

4、若 C=90° ，則 r=frac{a+b-c}2

5、對於4、有更普遍的結論 color{Blue}{ r=frac{tanfrac A2 (b+c-a)}2}

6、（O是平面ABC上任意一點） O是Delta ABC的內心Leftrightarrow color{Blue}{overrightarrow{OA} +overrightarrow{OB} +overrightarrow{OC} =overrightarrow{0} }

7. (點O是平面ABC上任意一點)點O是△ABC內心Leftrightarrow overrightarrow{OI}= frac{overrightarrow{OA}+overrightarrow{OB}+overrightarrow{OC}}{a+b+c}

8、 I_x=frac{A_x+B_x+C_x}{3},I_y=frac{A_y+B_y+C_y}{3}

9、(歐拉定理) bigtriangleup ABC中,R,r分別為外接圓odot O半徑和內接圓odot I半徑 ,則color{Blue}{OI^2=R^2-2Rr}

二、外心

外心

1.關於“三角形的三邊的垂直平分線交於一點”的證明：

註意到外心到三角形的三個頂點距離相等，結合垂直平分線性質，外心定理其實極好證。

計算外心的坐標是一件麻煩的事。先計算下列臨時變量：

d1,d2,d3分別是三角形三個頂點連向另外兩個頂點向量的點乘。

（例如： d_1=overrightarrow{AB} ·overrightarrow{AC} ）

記 c1=d2×d3，c2=d1×d3，c3=d1×d2，c=c1+c2+c3 。

外心坐標： ( frac{c_2+c_3}{2c}，frac{c_3+c_1}{2c}，frac{c_1+c_2}{2c} ) 。

2.性質

1、銳角三角形的外心在三角形內； 直角三角形的外心在斜邊上，與斜邊中點重合； 鈍角三角形的外心在三角形外。

2、三角形三條邊的垂直平分線的交於一點,該點即為三角形外接圓的圓心，外心到三頂點的距離相等。

3、點G是平面ABC上一點，那麼點G是⊿ABC外心的充要條件： {color{Blue} {(overrightarrow{OA}+overrightarrow{OB})·overrightarrow{AB}=(overrightarrow{OB}+overrightarrow{OC})·overrightarrow{BC}=(overrightarrow{OC}+overrightarrow{OA})·overrightarrow{CA}=overrightarrow{0}} }

三、重心

1.定義：三角形重心是三角形三條中線的交點。當幾何體為勻質物體時，重心與^[4]重合。

2.性質：

1、重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1

2、重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等

3 {color{Blue}{重心到三角形3個頂點距離平方的和最小}}

4、三角形內到三邊距離之積最大的點

5、卡諾重心定理：若G為三角形ABC的重心,P為三角形ABC所在平面上任意一點，則 color{blue}{PA^2+PB^2+PC^2=GA^2+GB^2+GC^2+3PG^2=frac{1}{3} (a^2+b^2+c^2)+3PG^2}

6. color{blue}{overrightarrow{GA}+overrightarrow{GB}+overrightarrow{GC}=overrightarrow{0}}

對於3的證明（參考自李永樂的解析幾何）：

設 P(x,y) 是平面ABC內一點，易知 PA=sqrt[]{(x-x_A)^2+(y-y_A)^2} ,則 PA^2={(x-x_A)^2+(y-y_A)^2} ，同理 PB^2={(x-x_B)^2+(y-y_B)^2} , PC^2={(x-x_C)^2+(y-y_C)^2} .所以綜上三式，重心到三角形3個頂點距離平方的和可以表示為：S=color{Blue}{{(x-x_A)^2+(y-y_A)^2}} + {color{Green} {(x-x_B)^2+(y-y_B)^2}} +{color{Red} {(x-x_C)^2+(y-y_C)^2}}

展開整理可得 S=color{Blue} {3x^2-2(x_A+x_B+x_C)x+(x_A^2+x_B^2+x_C^2)}+color{Red} {3y^2-2(y_A+y_B+y_C)x+(y_A^2+y_B^2+y_C^2)}

當S最小時，藍色和紅色部分分別最小，即在這兩條拋物線的對稱軸上取到最小值，即

x=frac{x_A+x_B+x_C}{3} ,y=frac{y_A+y_B+y_C}{3} .命題獲證！（性質4的證明類似）

四、垂心

1.定義：垂心是從三角形的各個頂點向其對邊所作的三條垂線的交點。

2.性質：

（1）銳角三角形垂心在三角形內部，直角三角形垂心在三角形直角頂點，鈍角三角形垂心在三角形外部。

（2）三角形三個頂點，三個垂足，垂心這7個點可以得到6組四點共圓。

下面的性質是最為銳利重要的：

（3）三角形的垂心是它垂足三角形的內心；或者說，三角形的內心是它旁心三角形的垂心。

（4）垂心H關於三邊的對稱點，均在△ABC的外接圓上。

（5）H、A、B、C四點中任一點是其餘三點為頂點的三角形的垂心(並稱這樣的四點為垂心組)

（6） △ABC,△ABH,△BCH,△ACH 的外接圓是等圓

（7）在非直角三角形中，過H的直線交AB、AC所在直線分別於P、Q，則 frac{AB}{AP}·tanB+frac{AC}{AQ} ·tanC=tanA+tanB+tanC

（8）設O，H分別為 △ABC 的外心和垂心，則∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA

（9）銳角三角形的垂心到三頂點的距離之和等於其內切圓與外接圓半徑之和的2倍

（10）銳角三角形的垂心是垂足三角形的內心；銳角三角形的內接三角形(頂點在原三角形的邊上)中，以垂足三角形的周長最短（施瓦爾茲三角形，最早在古希臘時期由海倫(想不到吧)發現）。

（11）西姆松定理（西姆松線）：從一點向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點落在三角形的外接圓上

（12）設銳角△ABC內有一點P，那麼P是垂心的充分必要條件是 PB·PC·BC+PB·PA·AB+PA·PC·AC=AB·BC·CA

（13）三角形任一頂點到垂心的距離，等於外心到對邊的距離的2倍。（“垂心伴隨外接圓，必有平行四邊形”）

推論（垂心餘弦定理）：銳角三角形ABC的垂心為H，則 frac{AH}{cosA} =frac{BH}{cosB}=frac{CH}{cosC}=2R （可引入有向距，推廣到任意三角形）

（14） overrightarrow{OA}·overrightarrow{OB}=overrightarrow{OB}·overrightarrow{OC}=overrightarrow{OC}·overrightarrow{OA}

3.垂心坐標公式： frac {y_2-y_1}{x_2-x_1}=-(x_3-x_G)

更新（2022.9.1）：

如圖， triangle ABC 的外心為 O ，重心為 G ，垂心為 H

靈感來源：《奧數教程》

定理1： overrightarrow{OH}= overrightarrow{OA}+overrightarrow{OB}+overrightarrow{OC}

方法有一定的技巧

證明：過點 A 作圓的直徑 AD ，由“直徑所對的圓周角是直角”可得：

ABbot BD,ACbot CD

再由垂心本身的性質可得：

ABbot CH,ACbot BH

由“垂直於同一直線的兩條直線互相平行”可得：

BD||CH,CD||BH

明顯上述四條線段構成瞭平行四邊形，所以：

BD=CH,CD=BH

引入向量可得：

overrightarrow{BH}= overrightarrow{DC}=overrightarrow{OC}-overrightarrow{OD}

註意到 overrightarrow{OA},overrightarrow{OD} 模長相等且方向相反，所以：

overrightarrow{OA}=-overrightarrow{OD}

所以： overrightarrow{BH}=overrightarrow{OC}-overrightarrow{OD}=overrightarrow{OC}+overrightarrow{OA}

因為 overrightarrow{OB}+overrightarrow{BH}=overrightarrow{OH}

所以 overrightarrow{OH}= overrightarrow{OA}+overrightarrow{OB}+overrightarrow{OC} . Q.E.D.

定理2： overrightarrow{OH}= frac{1}{3}(overrightarrow{OA}+overrightarrow{OB}+overrightarrow{OC})

證明：

一行證明： overrightarrow{OG}=overrightarrow{OA}-overrightarrow{GA}=overrightarrow{OA}+frac{2}{3}overrightarrow{AD}=overrightarrow{OA}+frac{1}{3}(overrightarrow{AB}+overrightarrow{AC})=overrightarrow{OA}+frac{1}{3}(overrightarrow{OB}-overrightarrow{OA}+overrightarrow{OC}-overrightarrow{OA})=frac{1}{3}(overrightarrow{OA}+overrightarrow{OB}+overrightarrow{OC})

定理3： O,G,H 三點共線，且 G 是 OH 鄰 O 的三等分點

證明：結合定理1與定理2即證。

參考

1. ^參考自wiki百科
2. ^參考自百度百科
3. ^張敬坤. 三角形外心的兩個性質[J]. 數學通訊, 2010(4):45-46.
4. ^面的形心就是截面圖形的幾何中心，質心是針對實物體而言的，而形心是針對抽象幾何體而言的，對於密度均勻的實物體，質心和形心重合。 n 維空間中一個對象X的幾何中心或形心是將X分成矩相等的兩部分的所有超平面的交點。非正式地說，它是X中所有點的平均。如果一個物件質量分佈平均，形心便是重心。