主元思想是數學中的一個重要思想。比如說，圓錐曲線問題有時可以以 x 為主元，有時可以以 k 為主元，甚至可以以 frac{y}{x} 為主元。

1、以定點為基準

這裡是我的經驗之談，比如說如果是過 x軸 上一點的直線就設 x=my+n ，而不是設 y=k（x-x_{1}）+b ，這樣可以簡化計算。聯立代入的時候也可以使用技巧看看自己有沒有算錯。

無論是表達斜率，面積，還是長度，矢量積，一般不會出現三次項和四次項，即m和n的次數和不為3，所有四次項都會相互抵消。所以，如果圓錐曲線中的任何式子出現三次項或無法消去的四次項，請認真檢查！

2、以動點坐標為主元

過y^{2}=4x的焦點F作相互垂直的兩直線l_{1}和l_{2}，l_{1}交拋物線於A，B（A在上方），l_{2}交準線於N。直線AN交x軸於Q，求S_{Delta AQB}最小值

設 l_{1}：x=my+1，代入得y^{2}-4my-4=0

設 A（x_{1}，y_{1}），B（x_{2}，y_{2}） 不難得到 N（-1，2m）

那麼 S=FQcdot left| y_{1}-y_{2} right|

如果我們以m為主元的話，我們需要解出Q的坐標，但是直線AN和y1相關，要使用求根公式才能完成m表示y1，肉眼可見的計算量。

所以可以用到主元思想，將S用y1表示。這一定是可行的。因為由韋達定理 y_{1}+y_{2}=4m即 m=frac{y_{1}+y_{2}}{4} ,可以把m全部由y1和y2表示，而韋達定理 y_{1}y_{2}=-4 ，可以用y1表示y2，所以，最後的式子一定可以化為隻關於y1的函數。

x_{1}有兩種表示方法，一種是表示為frac{y^{2}}{4}，一種是表示為my_{1}+1

兩種都可以繼續化簡下去。利用 m=frac{y_{1}+y_{2}}{4} 和 y_{2}=-frac{4}{y_{1}} 的關系式

最後化為 S=frac{1}{8}（y_{1}^{3}+8y_{1}+frac{16}{y_{1}}）

利用導數得到 S_{max}=frac{16}{9}sqrt{3}

這題還可以利用角度主元，也就是極坐標解法，因為題目中隱藏瞭一個 等腰Delta AFQ ，但是不建議，因為高考可能不認可這種解法，我把我的極坐標解法放在下面

我用瞭許多拋物線的二級結論和高階的均值不等式（也可以求導）。二級結論是要記的！

3、蒙日圓—-以 k 為主元

先給出蒙日圓的結論，雙曲線也可以記，因為最近特別喜歡考大題雙曲線

過frac{x^{2}}{a^{2}}+frac{y^{2}}{b^{2}}=1上任意不同的兩點A，B作切線，若兩切線相互垂直且交於P，那麼P的軌跡是x^{2}+y^{2}=a^{2}+b^{2}

過frac{x^{2}}{a^{2}}-frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)上任意不同的兩點A，B作切線，若兩切線相互垂直且交於P，那麼P的軌跡是x^{2}+y^{2}=a^{2}-b^{2}

下面給出母題

C：frac{x^{2}}{16}+frac{y^{2}}{4}=1外有點P，過P引C的切線PA，PB，且PAbot PB，求P的軌跡方程

首先設切線系：y=kx+b，代入得

（1+4k^{2}）x^{2}+8kbx+4b^{2}-16=0 ，設 P（x_{0}，y_{0}）

用上秒算判別式的技巧得 Delta=4cdot16cdot4cdot（16k^{2}+4-b^{2}） 秒算技巧放下面。

P點滿足 y=kx_{0}+b也就是b=y-kx_{0}

所以說，完成瞭核心步驟消b，就可以使用 x_{0}和y_{0}去表示主元k瞭

代入整理得到 （16+x_{0}^{2}）k^{2}-2x_{0}y_{0}k+4+y_{0}^{2}=0

這裡就可以使用主元法瞭，以k為主元 k_{1}k_{2}=frac{4+y_{0}^{2}}{16+x_{0}^{2}}=-1

所以是 x^{2}+y^{2}=20

之所以我們可以以k為主元，是因為我們設y=kx+b表示的是切線系，也就是同時表示兩個切線

4、齊次化聯立—-以 frac{y}{x} 為主元

這個方法並不推薦，因為難以書寫坐標系平移的步驟，而且這種平移難以得到高考閱卷的標準。可以使用我的方法去完美代替這種方法——增根法。如下：

言歸正傳，這種主元本質上是和上面蒙日圓 的一致的，都是“k”為主元。下面給出大概的步驟，具體的平移坐標系的寫法哪樣標準，還得去問問給改卷標準的老師（千萬別太相信普通機構或網上的回答）

這裡的關鍵在於使得已知點為原點簡化計算，同時利用 frac{y-kx}{b}=1 的歸一條件進行升次齊次化。當然設 mx+ny=1 可以避免k不存在或為0的情況，還可以大幅度縮減計算，但是因為截距式的認可度不高，需要謹慎使用

如果是求定點，那麼求出定點後還要平移回去。