入讀國際高中或就讀美高的同學普遍三角函數(trigonometric function)學得不是很好，有些還停留在畫三角形、按計算器才能計算sin、cos、tan的水平，很大原因是國外教材註重自我探究，通過一系列的循循善誘來給出結論，但國內是反過來的，先給出結論然後給出大量的例子來展現結論。一個很典型的例子就是誘導公式，很多國際高中考試是允許帶公式表的，而關於誘導公式有很多，更誇張的是除瞭一份度制的還會有一份弧度制的，整整一大張，但其實就是“奇變偶不變，符號看象限”十字口訣。而積分對於高中生而言也是一塊難點，換元法(by substitution)、分部積分法(by parts)等都是需要掌握。那麼當三角函數遇到積分，就是惡夢的開始。本文基於A-Level further math對於三角函數積分的要求，結合IB、AP的內容，總結一下三角函數積分的常見方法與技巧。

基本知識：

（1）換元法

int f[varphi(x)] varphi^{prime}(x) d x=F[varphi(x)]+C

（2）分部積分法

int u(x) d v(x)=u(x)cdot v(x)-int v(x) d u(x)

（3）常見三角函數積分

int sin x mathrm{d} x=-cos x+c int cos x mathrm{d} x=sin x+c

（4）降冪公式

begin{array}{l}{cos ^{2} alpha=frac{1+cos 2 alpha}{2}} \ {sin ^{2} alpha=frac{1-cos 2 alpha}{2}}end{array} (由二倍角公式推得 begin{aligned} cos (2 alpha) &=cos ^{2} alpha-sin ^{2} alpha \ &=1-2 sin ^{2} alpha=2 cos ^{2} alpha-1 end{aligned} )

（5）積化和差公式

begin{array}{l}{sin alpha cos beta=frac{1}{2}[sin (alpha+beta)+sin (alpha-beta)]} \ {cos alpha sin beta=frac{1}{2}[sin (alpha+beta)-sin (alpha-beta)]} \ {cos alpha cos beta=frac{1}{2}[cos (alpha+beta)+cos (alpha-beta)]} \ {sin alpha sin beta=-frac{1}{2}[cos (alpha+beta)-cos (alpha-beta)]}end{array}

（6）反三角函數求導

begin{array}{l}{frac{d(arcsin x)}{d x}=frac{1}{sqrt{1-x^{2}}}} \ {frac{d(arccos x)}{d x}=frac{-1}{sqrt{1-x^{2}}}} \ {frac{d(arctan x)}{d x}=frac{1}{1+x^{2}}}end{array}

（7）關於 sec x,tan x 的積分

int sec x tan x d x=sec x+c

int sec ^{2} u d u=tan u+c

一、換元法(By substitution)

對於一次的 mathrm{sin}kx 與 mathrm{cos}kx ，以及 x^n 都是可以計算的，

begin{array}{l}{int sin k x mathrm{d} x=-frac{1}{k} cos k x+c} \ {int cos k x mathrm{d} x=frac{1}{k} sin k x+c}\int x^nmathrm{d}x=frac{1}{n+1}x^{n+1}+cend{array}

所以對於三角函數積分，如果能夠通過換元能變成 int sin u(x) mathrm{d} u(x),int cos u(x) mathrm{d} u(x),int u(x)^nmathrm{d}u(x) 那麼就是可以積分的。

Question 1: Find int 2 x cos left(x^{2}+1right) mathrm{d} x

註：換元法的標志 f[varphi(x)] varphi^{prime}(x) ，一般找 mathrm{sin}f(x),mathrm{cos}f(x),sqrt{f(x)},e^{f(x)}

Question 2: Find int cos x sin ^{2} x mathrm{d} x

稍微難一點還有利用恒等式 sin ^{2} x+cos ^{2} x equiv 1 進行轉化後求解的。

Question 3: Find int cos ^{3} x d x

二、降冪

對於 mathrm{cos}^n x,mathrm{sin}^nx (ngeq2) ,可以想辦法把它變成一次的，隻要是一次的，我們都是能積分的。

Question 4: Find int cos ^{4} x d x

三、積化和差

註：在IB、AP中是不要求積化和差公式的，即使在國內高中也不強調，不過在A-Level further math是要求的。

對於 sin theta cos phi,cos theta sin phi,cos theta cos phi,sin theta sin phi 都可以轉化為兩個一次的正餘弦相加，所以就能積分。

Question 5: Find int sin 3 x cos 2 x d x

四、分部積分法(By parts)

對於反三角函數、對數函數、冪函數、三角函數和指數函數("反、對、冪、三、指")，如果是對其中任意兩種函數乘積的積分，那麼我們就可以考慮用分部積分法。

Question 6:Find int x cos x d x

五、構造方程求解

構造方程求解主要還是應用瞭分部積分法，持續用分部積分法直至與原被積函數相同，而從求解出原函數。

Question 7: Find int e^{x} cos x d x

六、利用反三角函數求積分

根據反三角函數求導公式可知，

int frac{1}{1+x^{2}} d x=arctan x+c

int frac{1}{sqrt{1-x^{2}}} d x=arcsin x+c

int -frac{1}{sqrt{1-x^{2}}} d x=arccos x+c

那麼對於型如 frac{1}{a^{2}+x^{2}} ,frac{1}{sqrt{a^{2}-x^{2}}},-frac{1}{sqrt{a^{2}-x^{2}}} 的積分，我們都可以借助反三角函數積分。

Question 8: Find int frac{1}{sqrt{9-x^{2}}} mathrm{d} x

七、三角換元

有些被積函數中並沒有出現三角函數，但是我們可以通過換元法把它轉化成關於三角函數的積分(畢竟我們已經講瞭這麼多關於三角函數的積分瞭)：

sqrt{a^{2}-x^{2}} 可以令 x=a sin theta

x^{2}+a^{2} ,sqrt{x^{2}+a^{2}} 可以令 x=a tan theta

sqrt{x^{2}-a^{2}} 可以令 x=a sec theta

Question 9: Find int frac{sqrt{x^{2}-9}}{x} d x

八、轉化（換元，萬能公式）

有些三角函數積分不屬於我們上述所講的任何一種定式，那麼就隻能靠運氣和努力瞭，多嘗試說不定就積出來瞭。

Question 10: int frac{1}{1+sin theta} d theta

感謝 @米修米修 Question 10，我們也可以這麼做

begin{array}{l}{int frac{1}{1+sin theta} d theta} \ {=int frac{1}{sin^2frac{theta}{2}+cos^2frac{theta}{2}+2sinfrac{theta}{2}cosfrac{theta}{2}}mathrm{d}theta}\{=2int frac{sec^2frac{theta}{2}}{tan^2frac{theta}{2}+2tanfrac{theta}{2}+1}mathrm{d}frac{theta}{2}}\{=2int frac{1}{tan^2frac{theta}{2}+2tanfrac{theta}{2}+1}mathrm{d}tanfrac{theta}{2}}\{=-2(tanfrac{theta}{2}+1)^{-1}+c}end{array}

本文總結瞭常見的三角函數積分方法與技巧，比如換元法、分部積分法、三角換元等，不過還有一些關於 sec x,tan x 的積分沒有寫進去，因為其本質還是換元法。三角函數積分一個難點是公式很多，比如二倍角、和差化積等，所以在熟練公式的基礎上才能更好的解決這一類問題。

如果有其他方法與技巧，歡迎交流討論，希望點贊支持~

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