先概括性地說一下應力張量與主應力的特點與聯系，應力張量一個是對稱矩陣，其特征值是主應力，主應力構成的對角陣，是應力張量的相似矩陣（相似矩陣是同樣的線性變換在不同基下的表示）。由於主應力是應力張量的特征值，所以應力張量的跡就是所有主應力的代數和。

圖1 應力張量的構成

我們知道，有些物理量隻需要大小就可以表示，比如密度，溫度，這就是所謂的標量（0階張量）。有些物理量，不僅需要知道其大小，還需要知道其方向（一個方向），比如力，速度這些，這些都是矢量（1階張量）。但是，對於應力，大小與一個方向並不足以描述它，比如，圖一指向 x 方向的應力成分就有三個。因此，我們還需要知道一個方向，也就是它所處平面的方向（處於 yz 平面並指向 x 方向就是 sigma_{xx} ）才能描述它。這就是我們用2階張量（可以描述大小加兩個方向）來描述應力的原因。順便一提，2階張量用矩陣表示。

不過，牽扯到方向就會變得麻煩，意味著我們可以通過不同的基來表示同一個量。比如二維空間中的一個力（如圖2所示），我們可以用 bm{F}= Fcdotbm{rm e} 表示， bm{rm e} 為與 bm{F} 方向一致的單位向量（基）。也可以用 bm{F}=F_xcdotbm{{rm e}_x}+F_ycdotbm{{rm e}_y} 來表示， bm{{rm e}_x} 與 bm{{rm e}_y} 分別為沿 x 軸 y 軸方向的單位向量（基）。

圖2 力的分解

應力也一樣，用不同的基來表示，應力張量長得也就不一樣。但首先要明確一點的是，某一點（微元體）的應力狀態是客觀存在的，不以基的選擇為轉移。接下來通過把兩種不同視角來看應力張量（第一個視角是我自己瞎想的）

（1）把應力張量看作一種線性變換

圖3 三維應力分量 （圖來自維基百科）

如圖3所示，我們假設在普通坐標系（自然基為 (bm n_1, bm n_2, bm n_3)=begin{pmatrix} 1& 0 & 0 \ 0& 1 & 0 \ 0 & 0& 1 end{pmatrix} ）中有一組單位應力力矢量分別為 bm{rm e_1 }=1bm n_1+0bm n_2+0bm n_3, bm{rm e_2 }=0bm n_1+1bm n_2+0bm n_3, bm{rm e_1 }=0bm n_1+0bm n_2+1bm n_3,寫成行向量

bm{rm e}=begin {pmatrix} bm{rm e_1 }\ bm{rm e_2} \ bm{rm e_3} end {pmatrix}=begin{pmatrix} 1& 0 & 0 \ 0& 1 & 0 \ 0 & 0& 1 end{pmatrix}\

應力張量為

bm{sigma}={sigma}_{ij}=begin{pmatrix} sigma_{11} & sigma_{12} & sigma_{13} \ sigma_{21} & sigma_{22} & sigma_{23} \ sigma_{31} & sigma_{32} & sigma_{33} end{pmatrix}\

通過與 bm{rm e} 垂直平面的應力矢量

bm{rm T}^{bm{(rm e)}}= begin {pmatrix} bm{rm T}^{bm{(rm e_1)}}\bm{rm T}^{bm{(rm e_2)}}\bm{rm T}^{bm{(rm e_3)}} end {pmatrix}=bm{rm e} cdot bm{sigma}=begin {pmatrix} rm e_1 \ rm e_2 \rm e_3 end {pmatrix} begin{pmatrix} sigma_{11} & sigma_{12} & sigma_{13} \ sigma_{21} & sigma_{22} & sigma_{23} \ sigma_{31} & sigma_{32} & sigma_{33} end{pmatrix}\

實際上，因為 left( bm{rm e_1, e_2, e_3} right) 是單位矩陣，所以 bm {rm T}^{(rm e)}=bm sigma 。矩陣乘法可以看作一種映射或者說是線性變換，具體到應力張量上來看，我們可以把點乘應力張量看作一種線性變換，即把空間中的應力矢量 bm{rm e_1},bm{rm e_2},bm{rm e_3} 映射為應力矢量 bm{rm T}^{bm{(rm e_1)}},bm{rm T}^{bm{(rm e_2)}},bm{rm T}^{bm{(rm e_3)}} ，可以表示為bm{rm T}^{bm{(rm e_1)}}=bm{rm e_1}cdotbm{sigma}; space bm{rm T}^{bm{(rm e_2)}}=bm{rm e_2}cdotbm{sigma}; space bm{rm T}^{bm{(rm e_3)}}=bm{rm e_3}cdotbm{sigma} 。寫成矩陣形式可以簡化為

begin {pmatrix} bm{rm T}^{bm{(rm e_1)}}\bm{rm T}^{bm{(rm e_2)}}\bm{rm T}^{bm{(rm e_3)}} end {pmatrix}=begin {pmatrix} bm{rm e_1} \ bm{rm e_2 }\ bm{rm e_3} end {pmatrix}bm{sigma}\

現在我們進行的這個線性變換是在普通坐標系（自然基）下進行的，那麼相同的線性變換也可以在其它的基下進行，區別在於 bm sigma 在新的基下表現形式就不同瞭。如果新的形式為 bm sigma' ，那麼 bm sigma 與 bm sigma' 互為相似矩陣。相似矩陣的詳細介紹可以參考馬同學的回答。

如圖4所示，我們通過 bm sigma 把 bm{rm e_1},bm{rm e_2},bm{rm e_3} 線性變換為 bm{rm T}^{bm{(rm e_1)}},bm{rm T}^{bm{(rm e_2)}},bm{rm T}^{bm{(rm e_3)}} 這個過程，可以繞一下，我們先進行坐標變換，把 bm{rm e_1},bm{rm e_2},bm{rm e_3} 分別用新的非自然基表示為 bm{rm e_1'},bm{rm e_2'},bm{rm e_3'} ，再做同樣的線性變換，最後再變回用自然基表示。我們可以看到，這個過程中，即便基發生瞭改變， bm sigma 和 bm{sigma'} 表示的線性變換前和變換後的應力矢量都是一樣的， bm{rm e_1},space bm{rm e_2},space bm{rm e_3} 與 bm{rm e_1}',space bm{rm e_2}',space bm{rm e_3}' 是同樣的矢量在不同基下的表現形式， bm {rm T}^{(rm e)} 與 bm {rm T}^{(rm e’)}同理。我們假設存在一個矩陣 bm P ，能夠使得矢量在自然基中的表現形式轉換到特定非自然基中的表現形式（坐標變換），即 bm{rm e_1'}=bm{rm e_1}bm{P}; bm{rm e_2'}=bm{rm e_2}bm{P}; bm{rm e_3'}=bm{rm e_3}bm{P}，那麼相反那麼上述過程可以表示為 bm{rm T}^{bm{(rm e)}}=bm{rm e}bm{sigma}=bm{rm e} bm Pbm{sigma'}bm{P^{-1}} ，其中 bm{rm e} bm Pbm{sigma'}=bm{rm T}^{bm{(rm e')}} ， bm{sigma}= bm Pbm{sigma'}bm{P^{-1}} 。

圖4 應力張量矩陣的相似矩陣

我們可能會覺得現在的 bm sigma 在自然基（普通坐標）下表現有點復雜，但既然 bm{sigma'} 與bm sigma 是等價的，那我們不妨選擇一組特別的基（主坐標），讓 bm{sigma'} 的表達最簡潔。而最簡單的表達莫過於 bm{sigma'} 是對角陣的時候, 即

bm{sigma}'=begin{pmatrix}sigma_1&0&0 \0&sigma_2&0\ 0&0&sigma_3 end{pmatrix}\

且有

begin{pmatrix}sigma_{11}&sigma_{12}&sigma_{13} \sigma_{21}&sigma_{22}&sigma_{23}\ sigma_{31}&sigma_{32}&sigma_{33}end{pmatrix}=bm{P}begin{pmatrix}sigma_1&0&0 \0&sigma_2&0\ 0&0&sigma_3 end{pmatrix}bm{P^{-1}}\

根據對角化的知識，我們可以知道其實 sigma_1, space sigma_2, space sigma_3 就是特征值，而 bm P 的列向量是單位化的特征向量。具體可以參考馬同學的回答。

這種情況下，如果把特征向量作為基的話， bm Pbm{sigma'} 可以看作是對特征向量進行方向不變，比例分別為 sigma_1, space sigma_2, space sigma_3 (不分大小)的伸縮。並且由於 begin {pmatrix} bm{rm e_1} \ bm{rm e_2 }\ bm{rm e_3} end {pmatrix}bm{P}=(bm n_1, bm n_2, bm n_3)bm{P} ，坐標變換的過程可以看作是對自然基進行基變換（這裡涉及到矩陣的行觀點與列觀點，具體可以參考

因為坐標變換中力矢量（比如 bm{rm e_1} ）是行向量，坐標表示是 (x_1,x_2,x_3) ，所以右乘 bm P ，與之對應的基變換中如果基是 begin {pmatrix} bm{rm n_1} \ bm{rm n_2 }\ bm{rm n_3} end {pmatrix} 則左乘 bm{P^{-1}} ，但右邊的基是 (bm n_1, bm n_2, bm n_3) 這種表現形式，所以是右乘 bm P ），因此我們可以看到圖4的 bm {rm T}^{(rm e’)} 中，主應力的方向與坐標軸方向一致（bm P 的列向量作為特征向量，並把特征向量作為基）。因為主應力方向與 bm P 的列向量一致，所以我們可以把 bm P 的列向量看作是主應力在普通坐標系中的單位方向向量。

總的來說，從線性變換的觀點來看應力張量是一種取巧，因為不需要張量積的知識。

（2）把應力張量看作一種不隨基變化的狀態量

接下來的內容需要用到張量積，這裡推薦一篇介紹張量積比較好的文章（英文）。

我們假設存在單位標準正交基

(bm {rm e}_1, bm {rm e}_2, bm {rm e}_3)=begin{pmatrix} 1& 0 & 0 \ 0& 1 & 0 \ 0 & 0& 1 end{pmatrix}\

在這個基下，應力張量 bm sigma 可以表示為

begin{pmatrix}sigma_{11}&sigma_{12}&sigma_{13} \sigma_{21}&sigma_{22}&sigma_{23}\ sigma_{31}&sigma_{32}&sigma_{33}end{pmatrix}=sigma_{11}({bm {rm e}}_1otimes {bm {rm e}}_1)+sigma_{12}({bm {rm e}}_1otimes {bm {rm e}}_2)+cdotcdotcdot+sigma_{33}({bm {rm e}}_3otimes {bm {rm e}}_3)=sigma_{ij}( {bm {rm e}}_iotimes {bm {rm e}}_j)\ 其中 i,j=1,2,3 。張量積是向量的外積(outer product) {bm {rm e}}_iotimes {bm {rm e}}_j:={bm {rm e}}_i{bm {rm e}}_j^{rm T} （ := 是定義的數學符號，把符號左邊定義為右邊的內容）。

普通坐標系（左）與主坐標系（右）中的應力張量

但是，基 (bm {rm e}_1, bm {rm e}_2, bm {rm e}_3) 下的應力張量有點復雜，畢竟都是表示成矩陣，表示成對角陣肯定是最簡單的。我們假設存在一組基 (bm{rm e_1'},bm{rm e_2'},bm{rm e_3'}) ，這組基下應力張量是對角陣。並且存在基變換矩陣 bm Q ，使得 bm{rm e}bm Q=bm{rm e'} 。因此有 {bm {rm e}}_p'=Q_{ip}{bm {rm e}}_i ，即

{bm {rm e}}_1'=Q_{11}{bm {rm e}}_1+Q_{21}{bm {rm e}}_2+Q_{31}{bm {rm e}}_3\ {bm {rm e}}_2'=Q_{12}{bm {rm e}}_1+Q_{22}{bm {rm e}}_2+Q_{32}{bm {rm e}}_3\ {bm {rm e}}_3'=Q_{13}{bm {rm e}}_1+Q_{23}{bm {rm e}}_2+Q_{33}{bm {rm e}}_3

其中 p,q=1,2,3 ，於是

begin {align} sigma_{ij}( {bm {rm e}}_iotimes {bm {rm e}}_j)&=sigma_{pq}'( {bm {rm e}}_p'otimes {bm {rm e}}_q')\&=sigma_{pq}'(Q_{ip}{bm {rm e}}_iotimes Q_{jq}{bm {rm e}}_j)\ &=Q_{ip}sigma_{pq}'Q_{jq}({bm {rm e}}_iotimes {bm {rm e}}_j) end {align}\

可以得到 bm{sigma}= bm Qbm{sigma'}bm{Q}^{rm T}\ 我們知道應力張量是是對稱矩陣（剪應力互等原理），而實對稱矩陣必定可以對角化。因為 bm{sigma'} 是對角陣，這個過程其實就可以看作是應力張量矩陣的對角化（ bm Q 為單位正交矩陣，所以 bm Q^{rm T}=bm Q^{-1} )。